Approximation WKB

L'approximation WKB est une méthode semi-classique pour résoudre l'équation de Schrödinger lorsque le potentiel varie lentement ; elle construit la fonction d'onde à partir d'une longueur d'onde définie localement et fournit la condition de quantification de Bohr-Sommerfeld ainsi que des estimations exponentielles de l'effet tunnel.

Definition

L'approximation WKB est une technique semi-classique permettant d'approximer les solutions de l'équation de Schrödinger lorsque le potentiel varie peu sur une longueur d'onde de de Broglie, en représentant la fonction d'onde comme l'exponentielle d'une phase variant lentement dont le terme principal est l'action classique.

Scope

Ce sujet couvre le développement semi-classique de la fonction d'onde en puissances du quantum d'action, la longueur d'onde et l'amplitude locales dans les régions classiquement permises, la croissance et la décroissance exponentielles dans les régions interdites, les formules de raccordement qui relient les solutions aux points tournants, la condition de quantification de Bohr-Sommerfeld pour les états liés, et l'estimation exponentielle WKB pour les probabilités d'effet tunnel.

Core questions

• Quand un potentiel varie-t-il suffisamment lentement pour que l'approximation WKB soit valide ?
• Comment la fonction d'onde se comporte-t-elle dans les régions classiquement permises par rapport aux régions interdites ?
• Quelles formules de raccordement relient les solutions aux points tournants classiques ?
• Comment l'approximation WKB reproduit-elle la condition de quantification de Bohr-Sommerfeld et les taux d'effet tunnel ?

Key concepts

• développement semi-classique
• longueur d'onde locale
• points tournants
• formules de raccordement
• quantification de Bohr-Sommerfeld
• exposant d'effet tunnel

Key theories

Fonction d'onde semi-classique

Dans un potentiel variant lentement, la fonction d'onde oscille avec une longueur d'onde locale déterminée par l'impulsion classique et une amplitude qui croît là où la particule se déplace lentement, tandis que dans les régions interdites, elle croît ou décroît exponentiellement, cette forme étant à la base de la quantification et de l'effet tunnel.

Quantification de Bohr-Sommerfeld

Exiger que la phase WKB accumulée entre les points tournants soit un multiple demi-entier du quantum d'action reproduit l'ancienne condition de quantification de Bohr-Sommerfeld, donnant des niveaux d'énergie précis pour des potentiels lisses et de grands nombres quantiques.

Clinical relevance

La méthode WKB fournit des estimations rapides et physiquement transparentes dans divers domaines de la physique : elle permet de déterminer les durées de vie de la désintégration alpha nucléaire grâce à son exposant d'effet tunnel, les courants d'émission de champ et de microscopie à effet tunnel, les niveaux vibrationnels des molécules, et la quantification semi-classique qui fait le pont entre les descriptions classique et quantique.

History

Wentzel, Kramers et Brillouin ont chacun introduit cette approximation en 1926, en s'appuyant sur un traitement mathématique antérieur de Jeffreys ; elle a relié la nouvelle mécanique ondulatoire à l'ancienne quantification de Bohr-Sommerfeld et a été rapidement appliquée par Gamow à l'effet tunnel dans la désintégration alpha.

Key figures

• Gregor Wentzel
• Hendrik Kramers
• Leon Brillouin
• Harold Jeffreys

Seminal works

• landau1977
• griffiths2018

Frequently asked questions

Quand l'approximation WKB est-elle précise ?

Elle est précise lorsque le potentiel varie peu sur une longueur d'onde de de Broglie, ce qui signifie généralement des énergies élevées ou de grands nombres quantiques ; elle devient peu fiable près des points tournants classiques, où des formules de raccordement doivent être utilisées pour relier les solutions.

Comment l'approximation WKB décrit-elle l'effet tunnel ?

Dans la région classiquement interdite, la fonction d'onde WKB décroît exponentiellement, et la probabilité d'effet tunnel est approximativement l'exponentielle de moins deux fois l'intégrale du taux de décroissance à travers la barrière, l'estimation semi-classique standard utilisée pour les taux de désintégration et d'émission.