Théorie des perturbations et méthodes d'approximation
La plupart des problèmes quantiques ne peuvent être résolus exactement, les méthodes d'approximation sont donc essentielles ; la théorie des perturbations traite un système comme un système soluble auquel s'ajoute une petite correction, tandis que les méthodes variationnelles et WKB bornent ou estiment les énergies et les fonctions d'onde dans d'autres régimes.
Definition
Les méthodes d'approximation en mécanique quantique sont des techniques systématiques pour estimer les énergies, les états et les taux de transition lorsque l'équation de Schrödinger ne peut être résolue exactement, les principales étant la théorie des perturbations, la méthode variationnelle et l'approximation semi-classique WKB.
Scope
Ce domaine couvre la théorie des perturbations indépendante du temps pour les corrections d'énergie et d'état, y compris les cas dégénérés, la théorie des perturbations dépendante du temps et la règle d'or de Fermi pour les taux de transition, le principe variationnel qui borne les énergies de l'état fondamental par le haut, et l'approximation semi-classique WKB pour les potentiels variant lentement et l'effet tunnel.
Sub-topics
Core questions
- Comment les niveaux d'énergie et les états sont-ils corrigés lorsqu'une petite perturbation est ajoutée ?
- Comment les taux de transition entre états sont-ils calculés sous une influence dépendante du temps ?
- Comment l'énergie de l'état fondamental peut-elle être bornée sans résoudre l'équation exactement ?
- Quand une approximation semi-classique donne-t-elle des résultats précis ?
Key concepts
- développement perturbatif
- théorie des perturbations dégénérées
- règle d'or de Fermi
- principe variationnel
- fonction d'onde d'essai
- approximation WKB
Key theories
- Théorie des perturbations
- Le développement des énergies et des états en puissances d'une petite perturbation donne des corrections ordre par ordre, le décalage d'énergie principal étant égal à l'espérance de la perturbation, et sa forme dépendante du temps conduit à la règle d'or de Fermi pour les taux de transition entre états.
- Méthodes variationnelles et WKB
- Le principe variationnel garantit que l'espérance de l'hamiltonien dans tout état d'essai est une borne supérieure de l'énergie de l'état fondamental, tandis que l'approximation WKB construit des fonctions d'onde à partir d'une longueur d'onde locale variant lentement, précise lorsque le potentiel varie peu sur une longueur d'onde.
Clinical relevance
Ces méthodes rendent la mécanique quantique applicable aux systèmes réels : la théorie des perturbations prédit les dédoublements de Stark et Zeeman et les taux de transition atomiques, la méthode variationnelle fournit des énergies d'état fondamental précises en chimie quantique, et la méthode WKB explique les taux d'effet tunnel et les conditions de quantification en physique atomique, nucléaire et du solide.
History
Rayleigh et Schrödinger ont développé la théorie des perturbations indépendante du temps dans les années 1920 ; Dirac a formulé la théorie des perturbations dépendante du temps et Fermi a popularisé la règle d'or pour les taux de transition, tandis que la méthode WKB a été introduite indépendamment par Wentzel, Kramers et Brillouin en 1926.
Key figures
- Erwin Schrodinger
- Paul Dirac
- Enrico Fermi
- Lord Rayleigh
Related topics
Seminal works
- sakurai2017
- landau1977
Frequently asked questions
- Quand la théorie des perturbations échoue-t-elle ?
- Elle échoue lorsque la perturbation n'est pas petite par rapport à l'espacement des niveaux d'énergie, lorsque les niveaux sont presque dégénérés, ce qui fait diverger les dénominateurs, ou lorsque la série ne converge pas ; dans de tels cas, des méthodes variationnelles, semi-classiques ou numériques sont nécessaires.
- Pourquoi la méthode variationnelle surestime-t-elle toujours l'énergie de l'état fondamental ?
- Tout état d'essai est un mélange des véritables états propres, et parce que toutes les énergies des états excités sont supérieures à celles de l'état fondamental, l'espérance de l'hamiltonien est une moyenne pondérée qui ne peut jamais être inférieure à la plus petite valeur propre.