Équation de Schrödinger dépendante et indépendante du temps

L'équation de Schrödinger dépendante du temps décrit l'évolution d'une fonction d'onde, et la séparation de la dépendance temporelle la réduit à l'équation indépendante du temps, un problème aux valeurs propres dont les solutions sont les états stationnaires d'énergie définie.

Definition

L'équation de Schrödinger dépendante du temps stipule que l'hamiltonien génère l'évolution temporelle de la fonction d'onde, tandis que l'équation de Schrödinger indépendante du temps est l'équation aux valeurs propres résultante dont les solutions sont les états stationnaires d'énergie définie.

Scope

Ce sujet aborde l'équation de Schrödinger dépendante du temps et la conservation de la probabilité, la séparation des variables pour les hamiltoniens indépendants du temps, l'équation indépendante du temps en tant que problème aux valeurs propres de l'énergie, les états stationnaires et leur évolution de phase triviale, le développement d'un état général en états propres d'énergie, et le propagateur qui fait évoluer tout état dans le temps.

Core questions

• Comment l'hamiltonien détermine-t-il l'évolution de tout état quantique ?
• Pourquoi la séparation du temps et de l'espace conduit-elle à un problème aux valeurs propres de l'énergie ?
• Qu'est-ce qui est particulier aux états stationnaires sous l'évolution temporelle ?
• Comment l'état futur d'une superposition arbitraire est-il calculé ?

Key concepts

• opérateur hamiltonien
• état stationnaire
• valeur propre de l'énergie
• séparation des variables
• conservation de la probabilité
• propagateur

Key theories

Séparation des variables

Lorsque l'hamiltonien n'a pas de dépendance temporelle explicite, les solutions de la forme fonction spatiale multipliée par phase temporelle réduisent l'équation complète au problème aux valeurs propres indépendant du temps, chaque état propre d'énergie n'acquérant qu'une phase oscillante au fil du temps.

Développement spectral et le propagateur

Tout état initial peut être écrit comme une superposition d'états propres d'énergie, chacun évoluant selon sa propre phase, de sorte que l'évolution temporelle complète est capturée par un propagateur construit à partir du spectre d'énergie qui mappe l'état à un instant donné à tout instant ultérieur.

Clinical relevance

Cette paire d'équations constitue le point de départ de presque tous les calculs quantiques : les états stationnaires donnent les raies spectrales mesurées en spectroscopie atomique et moléculaire, tandis que la forme dépendante du temps régit les transitions, la dynamique des paquets d'ondes et le contrôle cohérent des qubits en technologie quantique.

History

Schrödinger a présenté les deux formes de son équation dans sa série d'articles de 1926, appliquant immédiatement l'équation indépendante du temps à l'atome d'hydrogène ; Dirac et von Neumann ont ensuite reformulé l'évolution temporelle dans le langage abstrait des opérateurs des propagateurs unitaires.

Key figures

• Erwin Schrodinger
• Paul Dirac
• John von Neumann

Seminal works

• griffiths2018
• sakurai2017

Frequently asked questions

Pourquoi est-il appelé état stationnaire s'il évolue toujours dans le temps ?

Un état stationnaire n'acquiert qu'une phase oscillante globale, qui s'annule dans toute probabilité de mesure ou valeur d'espérance, de sorte que toutes les propriétés observables restent constantes dans le temps même si la fonction d'onde elle-même continue de tourner dans le plan complexe.

Quand l'équation de Schrödinger indépendante du temps peut-elle être utilisée ?

Elle s'applique lorsque l'hamiltonien ne dépend pas explicitement du temps, permettant la séparation des variables ; pour les potentiels variant dans le temps, il faut résoudre l'équation dépendante du temps complète ou utiliser la théorie des perturbations dépendante du temps.