Espaces tangents et champs de vecteurs

L'espace tangent associe un espace vectoriel de vitesses à chaque point d'une variété, et un champ de vecteurs attribue une telle vitesse de manière lisse sur l'ensemble de la variété, encodant ainsi les flux et les symétries infinitésimales.

Definition

L'espace tangent en un point d'une variété lisse est l'espace vectoriel des vecteurs vitesse des courbes passant par ce point (ou, de manière équivalente, des dérivations de fonctions lisses en ce point) ; un champ de vecteurs est une attribution lisse d'un vecteur tangent à chaque point, c'est-à-dire une section du fibré tangent.

Scope

Ce sujet définit l'espace tangent — de manière équivalente via les vecteurs vitesse de courbes, les dérivations, ou les n-uplets compatibles avec les changements de cartes — et assemble les espaces tangents pour former le fibré tangent. Il développe la notion de différentielle d'une application lisse, les champs de vecteurs comme sections du fibré tangent, leurs courbes intégrales et leurs flux, le crochet de Lie et la dérivée de Lie, ainsi que le théorème de Frobenius sur l'intégrabilité des distributions. Les espaces cotangents et les 1-formes apparaissent comme la structure duale menant aux formes différentielles.

Core questions

• Quelles sont les définitions équivalentes d'un vecteur tangent, et pourquoi concordent-elles ?
• Comment la différentielle d'une application lisse agit-elle sur les espaces tangents ?
• Comment les champs de vecteurs génèrent-ils des flux, et que mesure le crochet de Lie concernant deux flux ?
• Quand une famille de distributions tangentes peut-elle être intégrée en sous-variétés (théorème de Frobenius) ?

Key concepts

• Espace tangent et vecteurs tangents comme dérivations
• Fibré tangent et différentielle d'une application lisse
• Champs de vecteurs, courbes intégrales et flux
• Crochet de Lie et dérivée de Lie
• Distributions et théorème d'intégrabilité de Frobenius

Clinical relevance

Les vecteurs tangents et les champs de vecteurs formalisent la vitesse, la force et la symétrie infinitésimale ; ils constituent le substrat des systèmes dynamiques sur les variétés, de l'algèbre de Lie d'un groupe de Lie, ainsi que des constructions de géodésiques et de courbure en géométrie riemannienne.

History

La définition intrinsèque et sans coordonnées de l'espace tangent comme dérivations est apparue au milieu du XXe siècle, s'appuyant sur la théorie des groupes de transformations continus de Lie et le calcul des formes différentielles de Cartan, donnant ainsi à la géométrie différentielle sa formulation fonctorielle moderne.

Key figures

• Élie Cartan
• Sophus Lie
• John M. Lee

Seminal works

• lee2012
• warner1983

Frequently asked questions

Pourquoi définir les vecteurs tangents comme des dérivations ?

La définition par dérivation est intrinsèque et indépendante des coordonnées : un vecteur tangent est un opérateur linéaire sur les fonctions lisses satisfaisant la règle de Leibniz, ce qui évite toute référence à un plongement et fonctionne sur des variétés abstraites.

Que mesure le crochet de Lie de deux champs de vecteurs ?

Il mesure le défaut de commutation des flux des deux champs de vecteurs ; l'annulation du crochet signifie que les flux peuvent être suivis dans n'importe quel ordre pour atteindre le même point.