Variétés différentiables

Une variété différentiable est un espace qui ressemble localement à un espace euclidien et qui est construit par recollement au moyen de changements de coordonnées lisses, ce qui en fait le cadre où le calcul différentiel peut être effectué sur des espaces courbes.

Definition

Une variété différentiable (lisse) de dimension n est un espace topologique de Hausdorff à base dénombrable, muni d'un atlas de cartes vers des sous-ensembles ouverts de l'espace euclidien de dimension n, dont les fonctions de transition sont infiniment différentiables.

Scope

Ce sujet définit les variétés au moyen d'atlas de cartes avec des fonctions de transition lisses, développe les structures lisses, et traite des constructions fondamentales : les sous-variétés, les théorèmes du rang et des valeurs régulières qui décrivent les ensembles de niveau comme des variétés, les partitions de l'unité, et les plongements dans l'espace euclidien (le théorème de plongement de Whitney). Il introduit la distinction entre structures topologiques et lisses, l'existence surprenante de structures lisses exotiques, et les groupes de Lie en tant que variétés dotées d'opérations de groupe compatibles.

Core questions

• Comment les cartes et les fonctions de transition lisses permettent-elles de transporter le calcul différentiel sur un espace courbe de manière non ambiguë ?
• Quand un ensemble de niveau d'une application lisse porte-t-il une structure de variété naturelle ?
• Pourquoi toute variété lisse peut-elle être plongée dans un espace euclidien ?
• Comment une même variété topologique peut-elle admettre des structures lisses non équivalentes ?

Key concepts

• Cartes, atlas et fonctions de transition lisses
• Structures lisses et sous-variétés
• Théorème des valeurs régulières et ensembles de niveau en tant que variétés
• Partitions de l'unité et théorème de plongement de Whitney
• Structure topologique versus structure lisse et variétés exotiques

Clinical relevance

Les variétés constituent le cadre universel de la géométrie et de la physique modernes : les espaces de configuration et de phase en mécanique, l'espace-temps en relativité générale, et les groupes de Lie en symétrie sont tous des variétés, et les subtilités des structures lisses découvertes par Milnor ont remodelé la topologie du XXe siècle.

History

La notion de variété de Riemann de 1854 a été rendue rigoureuse par la définition du début du XXe siècle au moyen d'atlas ; les théorèmes de plongement de Whitney des années 1930 ont fondé la théorie abstraite, et la découverte par Milnor en 1956 de 7-sphères exotiques a révélé que la structure lisse véhicule des informations au-delà de la topologie.

Key figures

• Bernhard Riemann
• Hassler Whitney
• John Milnor

Seminal works

• lee2012
• milnor1956

Frequently asked questions

Qu'est-ce qui rend une variété différentiable plutôt que simplement topologique ?

Une variété topologique ne requiert que des cartes vers l'espace euclidien ; une variété différentiable exige en outre que les fonctions de transition entre les cartes qui se chevauchent soient lisses, de sorte que la notion de fonction lisse sur la variété soit bien définie.

Qu'est-ce qu'une sphère exotique ?

C'est une variété homéomorphe mais non difféomorphe à la sphère standard ; la découverte par Milnor de telles structures sur la 7-sphère a montré que les structures lisses ne sont pas déterminées par la topologie sous-jacente.