Métriques riemanniennes et géodésiques

Une métrique riemannienne mesure les longueurs et les angles sur une variété, et les géodésiques sont les courbes qui minimisent localement la longueur — les analogues des lignes droites dans un espace courbe.

Definition

Une métrique riemannienne attribue à chaque espace tangent un produit scalaire défini positif dépendant de manière lisse du point ; une géodésique est une courbe qui minimise localement la longueur, ou de manière équivalente, dont la vitesse est parallèle à elle-même.

Scope

Ce sujet définit la métrique riemannienne comme un produit scalaire variant de manière lisse sur les espaces tangents, les notions résultantes de longueur d'arc, d'angle et de volume riemannien, ainsi que la fonction de distance qui fait d'une variété riemannienne connexe un espace métrique. Il développe les géodésiques à la fois comme des courbes minimisant la longueur et comme des solutions de l'équation des géodésiques, l'application exponentielle et les coordonnées normales, la complétude géodésique, et le théorème de Hopf-Rinow reliant la complétude à l'existence de géodésiques minimisantes. Les isométries et la caractérisation variationnelle des géodésiques sont également abordées.

Core questions

• Comment une métrique transforme-t-elle une variété lisse en un espace métrique avec une distance bien définie ?
• En quel sens les géodésiques sont-elles les courbes les plus droites et localement les plus courtes ?
• Comment l'application exponentielle fournit-elle des coordonnées canoniques autour d'un point ?
• Quand la complétude géodésique garantit-elle des géodésiques minimisantes entre deux points quelconques (Hopf-Rinow) ?

Key concepts

• Métrique riemannienne, longueur d'arc et volume
• Fonction de distance riemannienne et isométries
• Équation des géodésiques et minimisation de la longueur
• Application exponentielle et coordonnées normales
• Complétude géodésique et théorème de Hopf-Rinow

Clinical relevance

Les géodésiques modélisent le mouvement des particules libres et les trajectoires lumineuses en relativité, les chemins optimaux dans les espaces de formes et en robotique, et les itinéraires les plus courts sur des surfaces courbes ; la structure métrique fait d'une variété un véritable objet géométrique et un espace métrique.

History

Riemann a introduit la métrique en 1854 ; l'étude variationnelle des géodésiques s'est développée à la fin du XIXe et au début du XXe siècle, et le théorème de Hopf-Rinow (1931) a clarifié l'équivalence de la complétude métrique et géodésique, complétant ainsi le cadre fondamental enseigné aujourd'hui.

Key figures

• Bernhard Riemann
• Heinz Hopf
• Willi Rinow

Seminal works

• lee1997
• docarmo1992

Frequently asked questions

Les géodésiques sont-elles toujours les chemins les plus courts ?

Seulement localement. Une géodésique minimise la longueur entre des points suffisamment proches, mais globalement, une géodésique entre deux points éloignés peut ne pas être la plus courte — par exemple, un arc de grand cercle parcourant le chemin le plus long autour d'une sphère.

Que garantit le théorème de Hopf-Rinow ?

Sur une variété riemannienne connexe, la complétude géodésique, la complétude métrique et la propriété que les ensembles fermés bornés sont compacts sont toutes équivalentes, et n'importe laquelle d'entre elles assure que chaque paire de points est reliée par une géodésique minimisante.