Géométrie riemannienne
La géométrie riemannienne définit sur une variété différentiable une métrique qui permet de mesurer les longueurs et les angles, transformant ainsi le calcul sur les variétés en une véritable géométrie de la distance, des géodésiques et de la courbure.
Definition
La géométrie riemannienne est l'étude des variétés différentiables munies d'une métrique riemannienne — un produit scalaire variant de manière lisse sur les espaces tangents — et des notions géométriques de longueur, d'angle, de géodésique et de courbure que la métrique détermine.
Scope
Ce domaine couvre les variétés munies d'une métrique riemannienne : la connexion de Levi-Civita et le transport parallèle, les géodésiques en tant que chemins localement les plus courts, le tenseur de courbure et ses contractions (courbure sectionnelle, de Ricci et scalaire), ainsi que les théorèmes de comparaison globaux reliant les bornes de courbure à la topologie et à la distance. Il inclut l'interaction entre la courbure locale et la forme globale qui motive une grande partie de la géométrie moderne, tout en excluant les structures différentiables sans métrique de la topologie différentielle et les métriques indéfinies étudiées en géométrie lorentzienne.
Sub-topics
Core questions
- Comment une métrique détermine-t-elle une connexion unique compatible et sans torsion (Levi-Civita) et par conséquent les géodésiques ?
- Quelles sont les différentes courbures, et comment encodent-elles la déviation locale par rapport à la platitude ?
- Comment les bornes de courbure contraignent-elles la topologie globale et le diamètre d'une variété ?
- Quand deux variétés riemanniennes sont-elles isométriques, et quelles quantités sont des invariants d'isométrie ?
Key concepts
- Métrique riemannienne et isométries
- Connexion de Levi-Civita et transport parallèle
- Géodésiques et application exponentielle
- Tenseur de courbure de Riemann, courbure sectionnelle, de Ricci et scalaire
- Théorèmes de comparaison reliant la courbure à la topologie
Clinical relevance
La géométrie riemannienne est le cadre mathématique de la relativité générale (avec sa généralisation lorentzienne), sous-tend l'analyse géométrique et les techniques de flot de Ricci utilisées pour résoudre la conjecture de Poincaré, et fournit les métriques courbes centrales pour l'optimisation, l'analyse de formes et l'apprentissage automatique sur les variétés.
History
La leçon d'habilitation de Riemann en 1854 a introduit la notion métrique de courbure en dimensions arbitraires ; le transport parallèle de Levi-Civita (1917) a donné à la connexion sa signification géométrique, et la géométrie de comparaison globale développée par Cartan, Rauch, puis Gromov a transformé le sujet en l'étude de la courbure versus la topologie.
Key figures
- Bernhard Riemann
- Tullio Levi-Civita
- Mikhail Gromov
Related topics
Seminal works
- lee1997
- docarmo1992
Frequently asked questions
- Qu'est-ce qu'une métrique riemannienne ajoute à une variété différentiable ?
- Elle fournit un produit scalaire sur chaque espace tangent, variant de manière lisse, ce qui permet de mesurer les longueurs des courbes, les angles entre les vecteurs, les volumes, et finalement la courbure — aucune de ces notions n'existant sur une variété différentiable nue.
- Comment la géométrie riemannienne est-elle liée à la relativité générale ?
- La relativité générale utilise une métrique pseudo-riemannienne (lorentzienne) de signature indéfinie sur l'espace-temps ; la connexion de Levi-Civita, les géodésiques et le tenseur de courbure de la géométrie riemannienne se transposent et décrivent la chute libre et la gravitation comme une courbure.