Connexions et transport parallèle

Une connexion prescrit la manière de différencier les champs de vecteurs le long des courbes, et le transport parallèle l'utilise pour déplacer des vecteurs sur une variété tout en les maintenant aussi constants que la géométrie le permet.

Definition

Une connexion sur une variété est une règle pour calculer les dérivées covariantes de champs de vecteurs qui est linéaire et satisfait une règle de Leibniz ; le transport parallèle est la prescription résultante pour déplacer un vecteur tangent le long d'une courbe de sorte que sa dérivée covariante le long de la courbe s'annule.

Scope

Ce sujet introduit les connexions affines et linéaires, la dérivée covariante et le transport parallèle le long des courbes. Il établit le théorème fondamental de la géométrie riemannienne — l'existence d'une connexion unique sans torsion et compatible avec la métrique (la connexion de Levi-Civita) — exprimée en coordonnées par les symboles de Christoffel. Il traite les géodésiques comme des courbes autoparallèles, l'holonomie du transport parallèle autour des boucles comme une manifestation de la courbure, et les connexions sur les fibrés vectoriels généraux comme le pont vers la théorie de jauge.

Core questions

• Pourquoi une structure supplémentaire au-delà de la métrique est-elle nécessaire pour différencier les champs de vecteurs sur une variété courbe ?
• Quelles conditions distinguent la connexion de Levi-Civita de manière unique à partir d'une métrique ?
• Comment le transport parallèle dépend-il du chemin, et que révèle cette dépendance au chemin ?
• Comment les symboles de Christoffel expriment-ils la connexion en coordonnées locales ?

Key concepts

• Connexions affines et linéaires ; dérivée covariante
• Transport parallèle le long des courbes
• Connexion de Levi-Civita et théorème fondamental de la géométrie riemannienne
• Symboles de Christoffel
• Holonomie et connexions sur les fibrés vectoriels

Clinical relevance

Les connexions constituent le cœur mathématique des théories de jauge en physique, où la connexion est le champ de jauge ; en géométrie, elles définissent les géodésiques et la courbure, et le transport parallèle explique des phénomènes allant du pendule de Foucault aux phases géométriques (de Berry).

History

Levi-Civita a introduit le transport parallèle en 1917, donnant à la courbure de Riemann une signification intuitive ; Weyl et Cartan ont abstrait la notion en connexions affines et générales dans les années 1920, et la formulation en termes de fibrés l'a ensuite unifiée avec les champs de jauge de la physique.

Key figures

• Tullio Levi-Civita
• Élie Cartan
• Hermann Weyl

Seminal works

• lee1997
• docarmo1992

Frequently asked questions

Pourquoi ne peut-on pas simplement différencier les champs de vecteurs directement sur une variété ?

Les vecteurs tangents en différents points résident dans des espaces vectoriels différents, de sorte que leur soustraction pour former une dérivée n'est pas définie ; une connexion fournit la règle manquante pour comparer les espaces tangents voisins.

Qu'est-ce qui rend la connexion de Levi-Civita spéciale ?

C'est la connexion unique qui est à la fois compatible avec la métrique (le transport parallèle préserve les longueurs et les angles) et sans torsion ; ces deux conditions la déterminent complètement à partir de la métrique.