Anneau noethérien

Un anneau noethérien est un anneau dans lequel tout idéal est de type fini, ou, de manière équivalente, dont les idéaux satisfont la condition de chaîne ascendante, une hypothèse de finitude qui rend la théorie des idéaux traitable.

Definition

Un anneau commutatif est noethérien si toute chaîne ascendante d'idéaux se stabilise, ou, de manière équivalente, si tout idéal est de type fini, ou encore, si toute collection non vide d'idéaux possède un élément maximal.

Scope

Ce sujet aborde les formulations équivalentes de la condition noethérienne, le théorème de la base de Hilbert, les modules noethériens, la persistance de cette propriété sous les quotients, la localisation et l'engendrement fini, ainsi que son rôle en tant qu'hypothèse fondamentale de l'algèbre commutative et de la géométrie algébrique.

Core questions

• Quelles sont les conditions équivalentes qui définissent un anneau noethérien ?
• Pourquoi le théorème de la base de Hilbert maintient-il les anneaux de polynômes noethériens ?
• Comment la propriété noethérienne se transmet-elle aux quotients, aux localisations et aux algèbres de type fini ?
• Pourquoi l'hypothèse noethérienne est-elle quasi omniprésente en algèbre commutative ?

Key theories

Formulations équivalentes

La condition de chaîne ascendante sur les idéaux, l'engendrement fini de tout idéal, et la condition d'élément maximal sur les familles d'idéaux sont équivalentes, offrant ainsi plusieurs définitions interchangeables d'un anneau noethérien.

Théorème de la base de Hilbert

Si un anneau est noethérien, alors l'anneau de polynômes sur cet anneau en un nombre fini de variables l'est aussi, ainsi, les algèbres de type fini sur les corps et sur les entiers sont noethériennes.

Stabilité de la propriété

Les quotients et les localisations d'anneaux noethériens sont noethériens, et les modules de type fini sur un anneau noethérien sont noethériens, ainsi, cette classe est fermée sous les constructions standard de l'algèbre commutative.

Clinical relevance

La condition noethérienne est l'hypothèse de finitude sous-jacente à la quasi-totalité de l'algèbre commutative et de la géométrie algébrique : elle garantit l'existence de la décomposition primaire, que les variétés sont définies par un nombre fini d'équations, et que les constructions clés se terminent, de sorte que les anneaux rencontrés en géométrie et en théorie des nombres sont presque toujours noethériens.

History

David Hilbert a démontré son théorème de la base en 1890 dans le cadre de la théorie des invariants, mais la condition de chaîne ascendante abstraite et la théorie systématique des anneaux noethériens sont l'œuvre d'Emmy Noether dans les années 1920, d'après laquelle le concept est nommé.

Key figures

• Emmy Noether
• David Hilbert
• Emanuel Lasker

Seminal works

• atiyah1969
• eisenbud1995
• matsumura1989

Frequently asked questions

Pourquoi l'engendrement fini des idéaux est-il une hypothèse si utile ?

Cela garantit que les idéaux, et par conséquent les ensembles algébriques qu'ils définissent, sont décrits par un nombre fini de données, que les chaînes ascendantes d'idéaux ne peuvent pas se prolonger indéfiniment, et que les arguments inductifs se terminent. Ce sont précisément les conditions nécessaires pour la décomposition primaire et la théorie de la dimension.

La plupart des anneaux rencontrés en pratique sont-ils noethériens ?

Oui. Les corps, les anneaux principaux, les anneaux d'entiers, et toute algèbre de type fini sur ceux-ci sont noethériens d'après le théorème de la base de Hilbert. Les anneaux non noethériens existent mais sont comparativement exotiques en géométrie et en théorie des nombres.