Espaces de Hilbert

Un espace de Hilbert est un espace préhilbertien complet, une généralisation en dimension infinie de la géométrie euclidienne où les notions d'angle, d'orthogonalité et de projection conservent toute leur puissance.

Definition

Un espace de Hilbert est un espace vectoriel muni d'un produit scalaire qui est complet pour la norme induite par ce produit scalaire ; le produit scalaire fournit une géométrie des longueurs et des angles qui rend possibles la projection orthogonale et le développement orthonormé.

Scope

Ce sujet aborde le produit scalaire et la norme qu'il induit, l'inégalité de Cauchy-Schwarz et l'identité du parallélogramme, l'orthogonalité et les compléments orthogonaux, le théorème de projection sur les ensembles convexes fermés, les bases orthonormées et l'identité de Parseval, ainsi que le théorème de représentation de Riesz identifiant un espace de Hilbert à son dual.

Core questions

• Comment un produit scalaire dote-t-il un espace de dimension infinie d'une géométrie ?
• Pourquoi tout ensemble convexe fermé admet-il un point unique le plus proche, et que permet cette projection ?
• Comment les bases orthonormées représentent-elles chaque vecteur comme une série de Fourier généralisée ?
• Pourquoi un espace de Hilbert est-il naturellement identifié à son propre dual ?

Key theories

Théorème de projection

Tout sous-ensemble convexe fermé non vide d'un espace de Hilbert contient un point unique le plus proche de tout vecteur donné, et la projection orthogonale sur un sous-espace fermé divise l'espace en ce sous-espace et son complément orthogonal.

Théorème de représentation de Riesz

Toute forme linéaire bornée sur un espace de Hilbert est donnée par le produit scalaire avec un vecteur unique, de sorte que l'espace est identifié isométriquement à son dual, ce qui est à l'origine d'une grande partie de la commodité analytique de l'espace.

Clinical relevance

Les espaces de Hilbert sont les espaces d'états de la mécanique quantique, où le développement orthonormé et la projection expriment la mesure et la superposition ; ils sont également à la base de l'approximation des moindres carrés, de l'analyse de Fourier et par ondelettes, du traitement du signal, et des espaces à noyau reproduisant, centraux dans l'apprentissage automatique moderne.

History

La structure a émergé des travaux de Hilbert sur les équations intégrales et les formes quadratiques infinies au début du XXe siècle ; von Neumann a donné la définition axiomatique abstraite dans les années 1920 lors de la formulation de la mécanique quantique, établissant ainsi la notion moderne d'espace de Hilbert.

Key figures

• David Hilbert
• John von Neumann
• Frigyes Riesz

Seminal works

• conway1985
• stein2005real

Frequently asked questions

En quoi un espace de Hilbert diffère-t-il d'un espace de Banach ?

Un espace de Hilbert est muni d'un produit scalaire qui induit sa norme et fournit une géométrie, des angles, l'orthogonalité et la projection, tandis qu'un espace de Banach général ne possède qu'une norme ; tout espace de Hilbert est un espace de Banach, mais la réciproque n'est pas vraie.

Qu'est-ce qu'une base orthonormée ?

C'est un ensemble maximal de vecteurs unitaires mutuellement orthogonaux tel que chaque élément de l'espace est la somme de ses projections sur ceux-ci, généralisant la manière dont les séries de Fourier développent les fonctions en sinus et cosinus.