Séries de Fourier

Une série de Fourier développe une fonction périodique comme une somme de sinus et de cosinus, la décomposant en ses fréquences fondamentales et soulevant la question centrale de savoir quand la série reconstitue la fonction.

Definition

Une série de Fourier est la représentation d'une fonction périodique comme une combinaison infinie de sinus et de cosinus, ou d'exponentielles complexes, dont les coefficients sont déterminés en intégrant la fonction par rapport à ces oscillations de base.

Scope

Ce sujet couvre les coefficients de Fourier d'une fonction périodique, les sommes partielles et leur noyau de Dirichlet, les critères de convergence ponctuelle et uniforme, le phénomène de Gibbs aux discontinuités, la convergence en moyenne et l'identité de Parseval, les méthodes de sommabilité telles que les moyennes de Cesaro et d'Abel avec le noyau de Fejer, et la complétude du système trigonométrique dans les fonctions de carré sommable.

Core questions

• Comment les coefficients de Fourier d'une fonction périodique sont-ils calculés ?
• Quand la série de Fourier converge-t-elle vers la fonction, et dans quel sens ?
• Pourquoi les méthodes de sommabilité rétablissent-elles la convergence là où les sommes partielles échouent ?
• Pourquoi le système trigonométrique forme-t-il une base orthonormale complète de fonctions de carré sommable ?

Key theories

Convergence en moyenne quadratique et identité de Parseval

La série de Fourier d'une fonction périodique de carré sommable converge vers celle-ci au sens de la moyenne quadratique, et la somme des carrés des coefficients est égale à la norme au carré de la fonction, exprimant le système trigonométrique comme une base orthonormale complète.

Théorème de Fejer

Les moyennes de Cesaro des sommes partielles de la série de Fourier d'une fonction périodique continue convergent uniformément vers la fonction, rétablissant la convergence par moyennage même lorsque les sommes partielles elles-mêmes ne convergent pas.

Clinical relevance

Les séries de Fourier sont le fondement de l'analyse spectrale des signaux périodiques, utilisées en acoustique, en analyse vibratoire, en génie électrique, et dans la résolution des équations de la chaleur et des ondes par séparation des variables, où la décomposition d'un état en modes de fréquence rend les équations solubles.

History

Fourier a introduit les développements trigonométriques dans sa théorie de la chaleur de 1822, revendiquant une généralité qui a provoqué des décennies d'examen minutieux. Dirichlet a donné le premier théorème de convergence rigoureux en 1829, et le résultat de sommabilité de Fejer en 1900 a clarifié la convergence pour les fonctions continues.

Key figures

• Joseph Fourier
• Lejeune Dirichlet
• Lipot Fejer

Seminal works

• stein2003fourier
• katznelson2004

Frequently asked questions

Une série de Fourier converge-t-elle toujours vers sa fonction ?

Non, pas ponctuellement en général ; les fonctions continues peuvent avoir des séries de Fourier qui divergent en certains points, mais la série converge toujours au sens de la moyenne quadratique pour les fonctions de carré sommable, et les méthodes de sommabilité rétablissent la convergence uniforme pour les fonctions continues.

Qu'est-ce que le phénomène de Gibbs ?

Près d'une discontinuité de saut, les sommes partielles d'une série de Fourier dépassent la fonction d'une proportion fixe qui ne s'annule pas à mesure que des termes supplémentaires sont ajoutés, un artefact de la convergence ponctuelle aux discontinuités.