Transformée de Fourier (Appliquée)
En tant que transformation intégrale, la transformée de Fourier décompose une fonction en ses fréquences constitutives et convertit les opérations de calcul différentiel et intégral en algèbre, ce qui en fait une méthode fondamentale des mathématiques appliquées.
Definition
La transformée de Fourier associe une fonction à une fonction du domaine fréquentiel définie par intégration par rapport à des exponentielles complexes ; en utilisation appliquée, elle transforme la convolution en multiplication et la dérivation en multiplication par la fréquence, de sorte que les problèmes sont résolus dans le domaine transformé puis inversés.
Scope
Ce sujet traite de la transformée de Fourier en tant que méthode de transformation : sa définition et son inverse, les règles opérationnelles de décalage, de mise à l'échelle et de dérivation, les théorèmes de convolution et de Parseval-Plancherel, les transformées de Fourier discrète et rapide, ainsi que son utilisation dans la résolution d'équations différentielles et l'analyse de signaux et de systèmes. Il complète le traitement de la même transformée dans le cadre de l'analyse harmonique.
Core questions
- Comment la transformée réduit-elle un problème différentiel ou de convolution à de l'algèbre ?
- Quelles règles opérationnelles régissent les décalages, les mises à l'échelle et les dérivées ?
- Comment la transformée est-elle calculée efficacement à partir de données échantillonnées ?
- Comment le contenu fréquentiel est-il extrait et manipulé dans les applications ?
Key theories
- Règles opérationnelles et propriété de dérivation
- La dérivation devient une multiplication par la fréquence et la translation devient un facteur de phase, de sorte que les équations différentielles linéaires et les filtres deviennent des relations algébriques dans le domaine fréquentiel.
- Théorème de convolution
- La transformée d'une convolution est le produit des transformées, ce qui est à la base de l'analyse des systèmes linéaires, du filtrage et des méthodes de résolution par fonctions de Green.
- Transformée de Fourier discrète et rapide
- L'échantillonnage conduit à la transformée de Fourier discrète, que l'algorithme de la transformée de Fourier rapide calcule en n log n opérations, permettant une analyse fréquentielle numérique pratique.
Clinical relevance
Les méthodes de Fourier appliquées sont à la base du traitement du signal et de l'image, des télécommunications, de l'analyse audio et vocale, de l'optique et de la cristallographie, de la spectroscopie et des méthodes spectrales pour les équations aux dérivées partielles, faisant de cette transformée l'un des outils les plus largement utilisés en science et en ingénierie.
History
Fourier a introduit la décomposition fréquentielle dans sa théorie de la chaleur de 1822. La transformée est devenue un outil d'ingénierie pratique grâce au calcul opérationnel et, de manière décisive, grâce à la transformée de Fourier rapide de Cooley-Tukey de 1965, qui a rendu l'analyse spectrale numérique omniprésente.
Key figures
- Joseph Fourier
- Ronald Bracewell
- James Cooley
- John Tukey
Related topics
Seminal works
- folland1992
- bracewell2000
Frequently asked questions
- En quoi cela diffère-t-il de la transformée de Fourier en analyse harmonique ?
- Il s'agit du même objet mathématique envisagé sous un angle différent : le traitement en analyse harmonique met l'accent sur la théorie sous-jacente et les espaces fonctionnels, tandis que ce sujet de mathématiques appliquées met l'accent sur la transformée en tant que méthode de résolution d'équations et d'analyse de signaux, y compris les variantes discrètes et rapides.
- Pourquoi le théorème de convolution est-il si utile dans les applications ?
- De nombreux systèmes physiques agissent sur les entrées par convolution, ce qui est difficile à calculer directement. Dans le domaine fréquentiel, la convolution devient une simple multiplication, ainsi, le filtrage et la réponse du système sont calculés en transformant, multipliant, puis retransformant, souvent à l'aide de la transformée de Fourier rapide.