Approximation diophantienne

L'approximation diophantienne mesure la précision avec laquelle les nombres irrationnels peuvent être approchés par des fractions ; la réponse dépend de manière délicate du nombre, distinguant les nombres rationnels, les irrationnels algébriques et les transcendants.

Definition

L'approximation diophantienne est l'étude de la qualité avec laquelle les nombres réels peuvent être approchés par des nombres rationnels, quantifiée par la petitesse de la différence entre un nombre et une fraction par rapport à la taille du dénominateur de la fraction.

Scope

Ce sujet aborde le théorème d'approximation de Dirichlet et le principe des tiroirs, les fractions continues comme meilleures approximations, la mesure d'irrationalité d'un nombre, le théorème de Liouville et la construction des nombres de Liouville (transcendants), le théorème de Thue-Siegel-Roth sur l'approximation des nombres algébriques, ainsi que les applications à la délimitation des solutions d'équations diophantiennes et aux preuves de transcendance.

Core questions

• Dans quelle mesure tout nombre irrationnel peut-il être approché par des nombres rationnels, comme le garantit le théorème de Dirichlet ?
• Pourquoi les convergents des fractions continues sont-ils les meilleures approximations rationnelles ?
• Comment le théorème de Liouville limite-t-il l'approximabilité des nombres algébriques et met-il ainsi en évidence les nombres transcendants ?
• Quelle limite plus précise le théorème de Thue-Siegel-Roth impose-t-il, et comment délimite-t-il les solutions des équations diophantiennes ?

Key theories

Théorème d'approximation de Dirichlet

Pour tout nombre irrationnel, il existe une infinité de fractions l'approximant à une précision d'un sur le carré du dénominateur, une borne prouvée par le principe des tiroirs et essentiellement atteinte par les fractions continues.

Théorème de Liouville et transcendance

Les nombres algébriques ne peuvent pas être approchés par des rationnels plus rapidement qu'une puissance dépendant de leur degré ; les nombres approximables plus rapidement, tels que la constante de Liouville, doivent être transcendants.

Théorème de Thue-Siegel-Roth

Un nombre algébrique irrationnel ne peut pas être approché avec un exposant essentiellement supérieur à deux ; cette borne optimale implique la finitude des solutions pour de larges classes d'équations diophantiennes.

Clinical relevance

La qualité de l'approximation contrôle la stabilité des algorithmes numériques impliquant des rapports irrationnels et sous-tend la réduction de réseau (la base des attaques et des constructions en cryptographie sur réseau) ainsi que la conception de suites à faible discrépance utilisées dans l'intégration quasi-Monte Carlo.

History

Les approximations par fractions continues ont été étudiées par Euler et Lagrange. Liouville a construit les premiers nombres transcendants explicites en 1844 en utilisant sa borne d'approximation ; Thue, Siegel, et finalement Roth en 1955 ont affiné la borne pour les nombres algébriques, un résultat pour lequel Roth a reçu la médaille Fields.

Key figures

• Peter Gustav Lejeune Dirichlet
• Joseph Liouville
• Axel Thue
• Klaus Roth

Frequently asked questions

Qu'est-ce qu'une mesure d'irrationalité ?

Elle quantifie la précision avec laquelle un nombre peut être approché par des rationnels : une mesure plus grande signifie que de meilleures approximations sont possibles. Les rationnels ont une mesure de un, les irrationnels algébriques exactement deux (selon Roth), et les nombres de Liouville une mesure infinie.

Comment l'approximation prouve-t-elle qu'un nombre est transcendant ?

Si un nombre peut être approché par des rationnels plus rapidement que la borne de Liouville ne le permet pour tout nombre algébrique, il ne peut pas être algébrique, il doit donc être transcendant.