Équations linéaires et de Pell

Les équations diophantiennes linéaires sont entièrement résolues par l'algorithme d'Euclide, tandis que l'équation de Pell, qui recherche des solutions entières de x² - dy² = 1, révèle la structure profonde des corps quadratiques réels par le biais des fractions continues.

Definition

Une équation diophantienne linéaire recherche des solutions entières d'une équation linéaire à coefficients entiers ; l'équation de Pell est l'équation diophantienne quadratique x² - dy² = 1 pour un entier positif d non carré, dont les solutions forment une famille infinie et finiment engendrée.

Scope

Ce sujet couvre les équations diophantiennes linéaires à deux variables ou plus et leur solution complète via les plus grands diviseurs communs et l'identité de Bézout, l'équation de Pell et ses formes négatives et généralisées, le développement en fraction continue des irrationnels quadratiques, la solution fondamentale et la manière dont toutes les solutions en sont générées, ainsi que le lien avec les unités et l'unité fondamentale d'un corps quadratique réel.

Core questions

• Quand une équation diophantienne linéaire a-t-elle des solutions entières, et comment l'ensemble complet des solutions est-il décrit ?
• Pourquoi l'équation de Pell a-t-elle toujours des solutions non triviales pour un d non carré ?
• Comment le développement en fraction continue de la racine carrée de d produit-il la solution fondamentale ?
• Comment toutes les solutions de Pell sont-elles générées à partir de la solution fondamentale, et comment cela se rapporte-t-il aux unités d'un corps quadratique ?

Key theories

Résolubilité des équations diophantiennes linéaires

L'équation ax + by = c a des solutions entières exactement lorsque le plus grand commun diviseur de a et b divise c, et l'identité de Bézout donne alors une solution particulière et la famille complète à un paramètre.

Existence et structure des solutions de Pell

Pour un d non carré, l'équation de Pell a une infinité de solutions ; une solution fondamentale existe, et toutes les autres sont obtenues en prenant les puissances de l'unité correspondante dans le corps quadratique réel.

Fractions continues et irrationnels quadratiques

Le développement en fraction continue de la racine carrée de d est finalement périodique, et ses convergents fournissent la solution fondamentale de Pell, liant la résolubilité diophantienne à l'approximation diophantienne.

Clinical relevance

Les équations de type Pell et les fractions continues apparaissent dans les algorithmes de calcul des unités fondamentales et des régulateurs des corps quadratiques et dans l'approximation des rapports irrationnels, avec des applications pratiques dans la conception de calendriers, les rapports d'engrenages et la réduction de réseaux.

History

Des mathématiciens indiens, notamment Brahmagupta au VIIe siècle et Bhaskara II avec la méthode chakravala, ont résolu l'équation de Pell des siècles avant l'Europe. Fermat l'a posée comme un défi, et Lagrange a donné la première preuve européenne complète en 1768 ; le nom de Pell est une erreur d'attribution historique d'Euler.

Key figures

• Brahmagupta
• Joseph-Louis Lagrange
• Pierre de Fermat
• John Pell

Seminal works

• hardyWright2008

Frequently asked questions

Pourquoi l'appelle-t-on l'équation de Pell ?

Par une erreur historique : Euler a attribué l'équation à John Pell, bien que Pell y ait peu travaillé ; les avancées significatives initiales ont été réalisées par des mathématiciens indiens ainsi que par Fermat et Lagrange.

Comment trouve-t-on une solution de Pell ?

Développez la racine carrée de d en fraction continue ; ses convergents périodiques donnent la solution fondamentale, à partir de laquelle toute autre solution est générée par composition répétée.