Nombres p-adiques
Les nombres p-adiques constituent une complétion alternative des nombres rationnels, une pour chaque nombre premier p, où la proximité est mesurée par la divisibilité plutôt que par la taille ; ils localisent la théorie des nombres et révèlent une arithmétique que les nombres réels masquent.
Definition
Pour un nombre premier p, les nombres p-adiques sont la complétion des nombres rationnels par rapport à la valeur absolue p-adique, où un nombre est considéré comme « petit » lorsqu'il est divisible par une puissance élevée de p ; ils forment un corps qui est un corps local prototypique.
Scope
Ce domaine couvre la valeur absolue p-adique et la construction des nombres p-adiques comme complétion des nombres rationnels, la structure des corps p-adiques et des corps locaux plus généraux, l'analyse p-adique incluant la convergence, les exponentielles et logarithmes p-adiques, le lemme de Hensel, et le principe local-global par lequel la résolution d'une équation sur les nombres rationnels est étudiée à travers toutes ses complétions réelles et p-adiques.
Sub-topics
Core questions
- Comment la valeur absolue p-adique redéfinit-elle la distance, et comment la complétion des rationnels produit-elle le corps p-adique ?
- Quelle est la structure algébrique et topologique des corps p-adiques et des corps locaux généraux ?
- Comment l'analyse fonctionne-t-elle p-adiquement, et que nous permet de résoudre le lemme de Hensel ?
- Comment le principe local-global relie-t-il la solubilité rationnelle à la solubilité sur les réels et sur tous les corps p-adiques ?
Key theories
- Complétion p-adique et théorème d'Ostrowski
- Le théorème d'Ostrowski classe toutes les valeurs absolues sur les nombres rationnels comme étant la valeur usuelle et les valeurs p-adiques ; la complétion par rapport à chacune d'elles donne les nombres réels et les corps p-adiques, les corps locaux de caractéristique zéro.
- Lemme de Hensel
- Un polynôme ayant une racine simple modulo p possède une unique racine p-adique qui s'y réduit ; ainsi, la résolution d'équations p-adiquement se ramène à leur résolution modulo p et à un processus de relèvement, une méthode de Newton p-adique.
- Principe local-global (de Hasse)
- Pour de nombreuses équations, notamment les formes quadratiques, la solubilité sur les nombres rationnels est équivalente à la solubilité sur les nombres réels et sur chaque corps p-adique, transformant ainsi les problèmes globaux en problèmes locaux.
Clinical relevance
Les corps locaux et les méthodes p-adiques sont indispensables en géométrie arithmétique moderne et dans le programme de Langlands ; les fonctions L p-adiques et les représentations de Galois éclairent également des conjectures (telles que celle de Birch-Swinnerton-Dyer) dont l'étude computationnelle soutient la cryptographie à courbe elliptique.
History
Hensel a introduit les nombres p-adiques vers 1897 par analogie avec les séries de puissances dans les corps de fonctions. Hasse a développé le principe local-global dans les années 1920, et la perspective p-adique est devenue centrale grâce aux travaux de Tate, Iwasawa et d'autres sur les corps locaux, les fonctions L p-adiques et la géométrie arithmétique.
Key figures
- Kurt Hensel
- Helmut Hasse
- Jean-Pierre Serre
Related topics
Seminal works
- serre1973
- koblitz1984
Frequently asked questions
- En quel sens deux nombres sont-ils p-adiquement proches ?
- Deux entiers sont p-adiquement proches lorsque leur différence est divisible par une puissance élevée du nombre premier p ; ainsi, par exemple, les grandes puissances de p sont p-adiquement proches de zéro, ce qui est contraire à l'intuition ordinaire.
- Pourquoi introduire les nombres p-adiques ?
- Ils localisent l'arithmétique à un seul nombre premier, rendant de nombreux problèmes traitables : les équations peuvent être étudiées un nombre premier à la fois, et le principe local-global assemble ces solutions locales en conclusions globales.