Courbes elliptiques

Une courbe elliptique est une courbe cubique lisse dont les points sont munis d'une loi de groupe naturelle ; sur les nombres rationnels, ce groupe est de type fini, ce qui fait des courbes elliptiques une famille d'équations diophantiennes à la fois particulièrement traitables et profondes.

Definition

Une courbe elliptique sur un corps est une courbe projective lisse de genre un avec un point de base choisi ; ou, de manière équivalente, en dehors des petites caractéristiques, l'ensemble des solutions d'une cubique de Weierstrass, complété par un point à l'infini, formant un groupe abélien.

Scope

Ce sujet aborde les équations de Weierstrass, le discriminant et le j-invariant, la loi de groupe corde-tangente, les courbes elliptiques sur les nombres rationnels et le théorème de Mordell-Weil, les sous-groupes de torsion et la classification de Mazur, le rang et les méthodes de descente, la réduction modulo les nombres premiers et la vision locale-globale, la fonction L d'une courbe elliptique, ainsi que la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer reliant le rang à l'ordre d'annulation de cette fonction L.

Core questions

• Comment la construction corde-tangente transforme-t-elle les points d'une courbe elliptique en un groupe abélien ?
• Pourquoi le groupe des points rationnels est-il de type fini, et comment son rang et sa torsion sont-ils déterminés ?
• Comment la réduction modulo un nombre premier relie-t-elle la courbe aux courbes sur les corps finis et à sa fonction L ?
• Que prédit la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer concernant le rang ?

Key theories

Loi de groupe et théorème de Mordell-Weil

Trois points alignés sur une courbe elliptique s'additionnent à l'élément neutre, formant ainsi un groupe abélien ; sur les nombres rationnels, ce groupe est de type fini, égal à une partie de torsion finie plus une partie libre d'un certain rang.

Torsion et théorème de Mazur

Le sous-groupe de torsion d'une courbe elliptique rationnelle est l'un des quinze groupes explicites (théorème de Mazur), de sorte que le seul mystère dans Mordell-Weil est le rang.

Fonctions L et Birch-Swinnerton-Dyer

La fonction L de Hasse-Weil, construite à partir des dénombrements de points modulo les nombres premiers, est conjecturée s'annuler au point central avec un ordre égal au rang, un problème du Prix du Millénaire partiellement prouvé dans les cas de rang faible.

Clinical relevance

Les courbes elliptiques sur les corps finis sont à la base de la cryptographie sur courbes elliptiques, y compris l'échange de clés et les signatures numériques, dont l'efficacité et la sécurité reposent sur la loi de groupe et la difficulté du problème du logarithme discret sur les courbes elliptiques ; elles sous-tendent également les propositions post-quantiques basées sur les isogénies.

History

Les courbes elliptiques sont nées des intégrales elliptiques étudiées par Abel et Jacobi. Poincaré et Mordell ont établi la loi de groupe et la génération finie sur les nombres rationnels au début du XXe siècle ; Weil a généralisé cela aux variétés abéliennes, et la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer a émergé d'expériences numériques dans les années 1960.

Key figures

• Louis Mordell
• Andre Weil
• Barry Mazur
• Bryan Birch
• Peter Swinnerton-Dyer

Seminal works

• silverman2009

Frequently asked questions

Les courbes elliptiques ont-elles la forme d'ellipses ?

Non. Le nom provient des intégrales elliptiques utilisées pour calculer les longueurs d'arc des ellipses ; une courbe elliptique est une courbe cubique et ne ressemble en rien à une ellipse.

Qu'est-ce que le rang d'une courbe elliptique ?

C'est le nombre de points rationnels indépendants d'ordre infini ; son calcul est difficile, et la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer le relie au comportement de la fonction L de la courbe au point central.