حلهای شرودینگر مستقل از زمان
یافتن سطوح انرژی و توابع موج حالت پایدار یک ذره کوانتومی در یک پتانسیل، اولین وظیفه مکانیک کوانتومی محاسباتی است که با شلیک در امتداد تابع موج یا با قطریسازی هامیلتونین گسستهشده حل میشود.
Definition
معادله شرودینگر مستقل از زمان یک معادله ویژه مقدار است که حلهای آن حالتهای پایدار و سطوح انرژی یک سیستم کوانتومی هستند؛ حل عددی آن به معنای یافتن آن ویژه مقدارها و ویژه تابعها برای یک پتانسیل معین است.
Scope
این موضوع به حل عددی معادله شرودینگر حالت پایدار در یک و چند بعد میپردازد: روش شلیک و تطبیق با جستجوی ویژه مقدار، روش انتگرالگیری نومروف، و روشهای ماتریسی که هامیلتونین را روی یک شبکه یا در یک پایه گسستهسازی میکنند. این موضوع به حالتهای مقید و به طور خلاصه، حالتهای پراکندگی میپردازد.
Core questions
- چگونه روش شلیک، ویژه مقدارهای انرژی را با اعمال شرایط مرزی پیدا میکند؟
- چرا روش نومروف برای انتگرالگیری معادله شرودینگر مناسب است؟
- چگونه گسستهسازی هامیلتونین، مسئله را به قطریسازی ماتریس تبدیل میکند؟
- چگونه حالتهای مقید گسسته از پیوستار متمایز میشوند؟
Key theories
- شلیک و تطبیق
- تابع موج از مرزها به سمت داخل برای یک انرژی آزمایشی انتگرالگیری میشود، و انرژی تنظیم میشود تا زمانی که حلهای داخلی و خارجی به طور هموار با هم تطابق پیدا کنند، که ویژه مقدارهای مجاز را انتخاب میکند.
- انتگرالگیری نومروف
- روش نومروف از ساختار خاص معادله شرودینگر، بدون جمله مشتق اول، بهره میبرد تا هنگام انتگرالگیری تابع موج، دقت مرتبه بالا را با هزینه کم به دست آورد.
- قطریسازی ماتریسی هامیلتونین
- نمایش هامیلتونین روی یک شبکه یا در یک پایه محدود، ماتریسی را به دست میدهد که ویژه مقدارهای آن سطوح انرژی و ویژه بردارهای آن توابع موج گسستهشده هستند که با حلکنندههای ویژه استاندارد یافت میشوند.
Clinical relevance
حل معادله شرودینگر حالت پایدار، سطوح انرژی اتمی و مولکولی، طیف چاههای کوانتومی و نانوساختارها، و اوربیتالهای تکذرهای را که محاسبات ساختار الکترونیکی را تغذیه میکنند، ارائه میدهد.
History
انتگرالگیری عددی معادله شرودینگر بلافاصله پس از فرمولبندی آن در سال ۱۹۲۶ آغاز شد، و روش نومروف، که در اصل برای مکانیک سماوی ابداع شده بود، به یک روش اصلی تبدیل شد؛ رشد رایانهها، قطریسازی کامل هامیلتونین را به یک جایگزین معمول تبدیل کرد.
Key figures
- Boris Numerov
- Erwin Schrodinger
- Jos Thijssen
Related topics
Seminal works
- thijssen2007
- giordano2006
Frequently asked questions
- چه زمانی باید از روش شلیک به جای قطریسازی ماتریسی استفاده کرد؟
- روش شلیک برای مسائل یکبعدی یا شعاعی که در آن یک ویژه مقدار واحد در هر زمان جستجو میشود، طبیعی و دقیق است. قطریسازی ماتریسی زمانی راحتتر است که بسیاری از سطوح به طور همزمان مورد نیاز باشند یا در ابعاد بالاتر که روش شلیک دشوار میشود.
- چرا روش نومروف برای این معادله ترجیح داده میشود؟
- معادله شرودینگر فاقد جمله مشتق اول است، که طرح نومروف به طور خاص برای بهرهبرداری از آن طراحی شده است و دقت مرتبه چهارم را با کار اضافی کمی در مقایسه با یک انتگرالگیر پایه ارائه میدهد.