متریکهای ریمانی و ژئودزیکها
متریک ریمانی طولها و زوایا را در یک منیفلد اندازهگیری میکند و ژئودزیکها منحنیهایی هستند که به صورت محلی طول را کمینه میکنند — مشابه خطوط مستقیم در فضای خمیده.
Definition
یک متریک ریمانی به هر فضای مماس یک ضرب داخلی مثبت معین اختصاص میدهد که به صورت هموار به نقطه بستگی دارد؛ یک ژئودزیک منحنیای است که به صورت محلی طول را کمینه میکند، یا به عبارتی منحنیای که سرعت آن در طول خودش موازی است.
Scope
این موضوع متریک ریمانی را به عنوان یک ضرب داخلی هموار متغیر در فضاهای مماس، مفاهیم حاصل از طول قوس، زاویه، و حجم ریمانی، و تابع فاصله که یک منیفلد ریمانی همبند را به یک فضای متریک تبدیل میکند، تعریف میکند. این موضوع ژئودزیکها را هم به عنوان منحنیهای کمینهکننده طول و هم به عنوان راهحلهای معادله ژئودزیک، نگاشت نمایی و مختصات نرمال، کامل بودن ژئودزیک، و قضیه هاپف-رینو که کامل بودن را به وجود ژئودزیکهای کمینهکننده مرتبط میکند، توسعه میدهد. ایزومتریها و مشخصه واریانسی ژئودزیکها نیز گنجانده شدهاند.
Core questions
- چگونه یک متریک یک منیفلد هموار را به یک فضای متریک با فاصله خوشتعریف تبدیل میکند؟
- ژئودزیکها به چه معنا مستقیمترین و محلی کوتاهترین منحنیها هستند؟
- چگونه نگاشت نمایی مختصات کانونی را در اطراف یک نقطه فراهم میکند؟
- چه زمانی کامل بودن ژئودزیک، ژئودزیکهای کمینهکننده را بین هر دو نقطه تضمین میکند (هاپف-رینو)؟
Key concepts
- متریک ریمانی، طول قوس، و حجم
- تابع فاصله ریمانی و ایزومتریها
- معادله ژئودزیک و کمینهسازی طول
- نگاشت نمایی و مختصات نرمال
- کامل بودن ژئودزیک و قضیه هاپف-رینو
Clinical relevance
ژئودزیکها حرکت آزاد ذرات و مسیرهای نور را در نسبیت، مسیرهای بهینه در فضاهای شکل و رباتیک، و کوتاهترین مسیرها را در سطوح خمیده مدلسازی میکنند؛ ساختار متریک یک منیفلد را به یک شیء هندسی و فضای متریک واقعی تبدیل میکند.
History
ریمان متریک را در سال 1854 معرفی کرد؛ مطالعه واریانسی ژئودزیکها در اواخر قرن 19 و اوایل قرن 20 به بلوغ رسید، و قضیه هاپف-رینو (1931) معادل بودن کامل بودن متریک و ژئودزیک را روشن کرد و تصویر بنیادی که امروزه تدریس میشود را تکمیل نمود.
Key figures
- Bernhard Riemann
- Heinz Hopf
- Willi Rinow
Related topics
Seminal works
- lee1997
- docarmo1992
Frequently asked questions
- آیا ژئودزیکها همیشه کوتاهترین مسیرها هستند؟
- فقط به صورت محلی. یک ژئودزیک طول را بین نقاط به اندازه کافی نزدیک کمینه میکند، اما به صورت کلی یک ژئودزیک بین دو نقطه دور ممکن است کوتاهترین نباشد — برای مثال، یک کمان دایره بزرگ که مسیر طولانیتری را در اطراف یک کره طی میکند.
- قضیه هاپف-رینو چه چیزی را تضمین میکند؟
- در یک منیفلد ریمانی همبند، کامل بودن ژئودزیک، کامل بودن متریک، و ویژگی فشرده بودن مجموعههای بسته و کراندار همگی معادل هستند، و هر یک از آنها تضمین میکند که هر جفت نقطه توسط یک ژئودزیک کمینهکننده به هم متصل میشوند.