اتصالات و انتقال موازی
یک اتصال نحوه مشتقگیری از میدانهای برداری در امتداد منحنیها را تعیین میکند و انتقال موازی از آن برای جابجایی بردارها در یک منیفولد استفاده میکند، در حالی که آنها را تا جایی که هندسه اجازه میدهد ثابت نگه میدارد.
Definition
یک اتصال بر روی یک منیفولد، قاعدهای برای گرفتن مشتقات هموردا از میدانهای برداری است که خطی بوده و از قاعده لایبنیتس پیروی میکند؛ انتقال موازی، دستورالعمل حاصل برای حرکت یک بردار مماس در امتداد یک منحنی است به طوری که مشتق هموردای آن در امتداد منحنی ناپدید شود.
Scope
این موضوع اتصالات آفین و خطی، مشتق هموردا و انتقال موازی در امتداد منحنیها را معرفی میکند. این موضوع قضیه اساسی هندسه ریمانی — وجود یک اتصال منحصر به فرد بدون پیچش و سازگار با متریک (اتصال لوی-چیویتا) — را که در مختصات با نمادهای کریستوفل بیان میشود، اثبات میکند. این موضوع ژئودزیکها را به عنوان منحنیهای خود-موازی، هولونومی انتقال موازی در اطراف حلقهها را به عنوان تجلی انحنا، و اتصالات بر روی بستههای برداری عمومی را به عنوان پلی به نظریه پیمانهای بررسی میکند.
Core questions
- چرا برای مشتقگیری از میدانهای برداری بر روی یک منیفولد خمیده، به ساختاری فراتر از متریک نیاز است؟
- چه شرایطی اتصال لوی-چیویتا را به طور منحصر به فرد از یک متریک متمایز میکند؟
- انتقال موازی چگونه به مسیر بستگی دارد و این وابستگی به مسیر چه چیزی را آشکار میکند؟
- نمادهای کریستوفل چگونه اتصال را در مختصات محلی بیان میکنند؟
Key concepts
- اتصالات آفین و خطی؛ مشتق هموردا
- انتقال موازی در امتداد منحنیها
- اتصال لوی-چیویتا و قضیه اساسی هندسه ریمانی
- نمادهای کریستوفل
- هولونومی و اتصالات بر روی بستههای برداری
Clinical relevance
اتصالات هسته ریاضی نظریههای پیمانهای در فیزیک هستند، جایی که اتصال همان میدان پیمانهای است؛ در هندسه آنها ژئودزیکها و انحنا را تعریف میکنند، و انتقال موازی پدیدههایی از آونگ فوکو تا فازهای هندسی (بری) را توضیح میدهد.
History
لوی-چیویتا انتقال موازی را در سال ۱۹۱۷ معرفی کرد و به انحنای ریمان معنایی شهودی بخشید؛ وایل و کارتان این مفهوم را در دهه ۱۹۲۰ به اتصالات آفین و عمومی انتزاعی کردند، و فرمولبندی بستهای بعدها آن را با میدانهای پیمانهای فیزیک یکپارچه کرد.
Key figures
- Tullio Levi-Civita
- Élie Cartan
- Hermann Weyl
Related topics
Seminal works
- lee1997
- docarmo1992
Frequently asked questions
- چرا نمیتوانیم میدانهای برداری را مستقیماً روی یک منیفولد مشتق بگیریم؟
- بردارهای مماس در نقاط مختلف در فضاهای برداری متفاوتی قرار دارند، بنابراین تفریق آنها برای تشکیل مشتق تعریف نشده است؛ یک اتصال، قاعده گمشده برای مقایسه فضاهای مماس نزدیک را فراهم میکند.
- چه چیزی اتصال لوی-چیویتا را خاص میکند؟
- این تنها اتصالی است که هم با متریک سازگار است (انتقال موازی طولها و زوایا را حفظ میکند) و هم بدون پیچش است؛ این دو شرط آن را به طور کامل از متریک تعیین میکنند.