فضاهای مماس و میدان‌های برداری

فضای مماس یک فضای برداری از سرعت‌ها را به هر نقطه از یک منیفلد (manifold) متصل می‌کند، و یک میدان برداری چنین سرعتی را به طور هموار در سراسر منیفلد اختصاص می‌دهد که جریان‌ها و تقارن‌های بی‌نهایت کوچک را کدگذاری می‌کند.

Definition

فضای مماس در یک نقطه از یک منیفلد هموار، فضای برداری بردارهای سرعت منحنی‌های گذرنده از آن نقطه است (به طور معادل، اشتقاق‌های توابع هموار در آن نقطه)؛ یک میدان برداری، تخصیص هموار یک بردار مماس به هر نقطه است، یعنی یک مقطع از کلاف مماس.

Scope

این موضوع فضای مماس را تعریف می‌کند — به طور معادل از طریق بردارهای سرعت منحنی‌ها، اشتقاق‌ها (derivations)، یا تاپل‌های سازگار با انتقال — و فضاهای مماس را در کلاف مماس (tangent bundle) گرد هم می‌آورد. این موضوع دیفرانسیل یک نگاشت هموار، میدان‌های برداری به عنوان مقاطع کلاف مماس، منحنی‌های انتگرالی و جریان‌های آن‌ها، براکت لی (Lie bracket) و مشتق لی (Lie derivative)، و قضیه فروبنیوس (Frobenius' theorem) در مورد انتگرال‌پذیری توزیع‌ها را توسعه می‌دهد. فضاهای هم‌مماس (cotangent spaces) و یک‌فرم‌ها (one-forms) به عنوان ساختار دوگانه که به سمت فرم‌های دیفرانسیلی (differential forms) منجر می‌شود، ظاهر می‌شوند.

Core questions

• تعاریف معادل یک بردار مماس چیست و چرا با هم توافق دارند؟
• چگونه دیفرانسیل یک نگاشت هموار بر فضاهای مماس عمل می‌کند؟
• چگونه میدان‌های برداری جریان‌ها را تولید می‌کنند، و براکت لی چه چیزی را در مورد دو جریان اندازه‌گیری می‌کند؟
• چه زمانی می‌توان یک خانواده از توزیع‌های مماس را به زیرمنیفلدها انتگرال گرفت (قضیه فروبنیوس)؟

Key concepts

• فضای مماس و بردارهای مماس به عنوان اشتقاق‌ها
• کلاف مماس و دیفرانسیل یک نگاشت هموار
• میدان‌های برداری، منحنی‌های انتگرالی و جریان‌ها
• براکت لی و مشتق لی
• توزیع‌ها و قضیه انتگرال‌پذیری فروبنیوس

Clinical relevance

بردارهای مماس و میدان‌های برداری، سرعت، نیرو و تقارن بی‌نهایت کوچک را رسمی می‌کنند؛ آن‌ها بستر سیستم‌های دینامیکی روی منیفلدها، جبر لی (Lie algebra) یک گروه لی (Lie group)، و ساختارهای ژئودزیک (geodesic) و انحنا (curvature) در هندسه ریمانی (Riemannian geometry) هستند.

History

تعریف ذاتی و مستقل از مختصات فضای مماس به عنوان اشتقاق‌ها در اواسط قرن بیستم پدیدار شد، که بر اساس نظریه گروه‌های تبدیل پیوسته لی و حساب فرم‌های دیفرانسیلی کارتان (Cartan) بنا شده بود و به هندسه دیفرانسیل فرمول‌بندی تابعی (functorial) مدرن خود را بخشید.

Key figures

• Élie Cartan
• Sophus Lie
• John M. Lee

Seminal works

• lee2012
• warner1983

Frequently asked questions

چرا بردارهای مماس را به عنوان اشتقاق‌ها تعریف می‌کنیم؟

تعریف اشتقاق ذاتی و مستقل از مختصات است: یک بردار مماس یک عملگر خطی روی توابع هموار است که از قانون لایبنیتس (Leibniz rule) پیروی می‌کند، که از ارجاع به هرگونه تعبیه (embedding) جلوگیری می‌کند و روی منیفلدهای انتزاعی کار می‌کند.

براکت لی دو میدان برداری چه چیزی را اندازه‌گیری می‌کند؟

این براکت، عدم جابجایی جریان‌های دو میدان برداری را اندازه‌گیری می‌کند؛ صفر بودن براکت به این معنی است که جریان‌ها را می‌توان به هر ترتیبی دنبال کرد تا به همان نقطه رسید.