خمش و هندسه مقایسهای
خمش میزان انحراف یک منیفلد ریمانی از حالت مسطح را اندازهگیری میکند، و هندسه مقایسهای نشان میدهد که چگونه کرانهایی بر خمش، محدودیتهایی را بر فواصل، حجم و توپولوژی منیفلد اعمال میکنند.
Definition
خمش اندازهگیری تانسوری عدم جابجایی مشتقگیری هموردا، یا به طور معادل، انحراف موضعی یک منیفلد ریمانی از مسطح بودن اقلیدسی است؛ هندسه مقایسهای پیامدهای متریک و توپولوژیکی جهانی را از نابرابریها در خمش مقطعی یا ریچی استنتاج میکند.
Scope
این موضوع تانسور خمش ریمان و انقباضات آن — خمش مقطعی، ریچی و اسکالر — و معنای هندسی آنها را از طریق رفتار ژئودزیکهای نزدیک، که توسط میدانهای ژاکوبی و تغییر دوم طول قوس کدگذاری شدهاند، تعریف میکند. این موضوع قضایای مقایسهای اصلی را توسعه میدهد: بونت-مایرز که قطر را تحت خمش ریچی مثبت محدود میکند، قضیه کارتان-هادامارد در مورد خمش غیرمثبت، مقایسه راخ، و مقایسه حجم بیشاپ-گروموف، که نشان میدهد چگونه خمش هندسه و توپولوژی جهانی را کنترل میکند.
Core questions
- چگونه تانسور خمش عدم استقلال مسیر انتقال موازی را کمیسازی میکند؟
- خمش مقطعی، ریچی و اسکالر چه اطلاعات هندسی متمایزی را حمل میکنند؟
- میدانهای ژاکوبی چگونه خمش را به گسترش یا تمرکز ژئودزیکها مرتبط میکنند؟
- کرانهای خمش چگونه قطر، حجم و توپولوژی یک منیفلد را محدود میکنند؟
Key concepts
- تانسور خمش ریمان
- خمش مقطعی، ریچی و اسکالر
- میدانهای ژاکوبی و تغییر دوم طول
- قضایای بونت-مایرز و کارتان-هادامارد
- قضایای مقایسه راخ و بیشاپ-گروموف
Clinical relevance
خمش میدان گرانشی نسبیت عام از طریق تانسور ریچی و معادلات اینشتین است، و هندسه مقایسهای کنترل تحلیلی پشت جریان ریچی و حل حدسهای پوانکاره و هندسیسازی، و همچنین کرانهای مورد استفاده در تحلیل هندسی و هندسه طیفی را فراهم میکند.
History
ریمان خمش مقطعی را در سال 1854 تعریف کرد؛ قضایای مقایسهای جهانی بونت، مایرز، کارتان، هادامارد و راخ در نیمه اول قرن بیستم توسعه یافتند، و مقایسه حجم گروموف و تکنیکهای هندسه-متریک از دهه 1980 این رشته را به مطالعه فضاهای کنترلشده با خمش تبدیل کرد.
Key figures
- Bernhard Riemann
- Élie Cartan
- Mikhail Gromov
Related topics
Seminal works
- lee1997
- docarmo1992
Frequently asked questions
- تفاوت بین خمش مقطعی، ریچی و اسکالر چیست؟
- خمش مقطعی خمش صفحات مماس دو بعدی را اندازهگیری میکند؛ خمش ریچی میانگین خمشهای مقطعی را در جهتهای گذرنده از یک بردار محاسبه میکند؛ خمش اسکالر بیشتر میانگینگیری میکند تا به یک عدد واحد در هر نقطه برسد. هر یک خلاصهای متوالی و با جزئیات کمتر است.
- خمش چگونه بر توپولوژی تأثیر میگذارد؟
- کرانها بر خمش شکل را محدود میکنند: طبق بونت-مایرز، خمش ریچی مثبت که از پایین کراندار است، یک منیفلد فشرده با گروه بنیادی متناهی را ایجاب میکند، در حالی که طبق کارتان-هادامارد، خمش غیرمثبت کامل و همبند ساده، منیفلد را با فضای اقلیدسی دیفئومورفیک میسازد.