درونیابی چندجملهای
درونیابی چندجملهای، چندجملهای یکتایی با حداکثر درجه n را میسازد که از n+1 نقطه داده شده عبور میکند و مبنایی برای مشتقگیری، انتگرالگیری و تقریب توابع فراهم میآورد.
Definition
درونیابی چندجملهای عبارت است از تعیین چندجملهای با کمترین درجه که با مقادیر (و احتمالاً مشتقات) مشخص شده در مجموعهای از نقاط معین، که گرههای درونیابی نامیده میشوند، مطابقت دارد.
Scope
این موضوع شامل وجود و یکتایی چندجملهای درونیاب، نمایشهای لاگرانژ و نیوتن با تفاضلات تقسیمشده، فرم باریسنتریک مورد استفاده برای ارزیابی پایدار، فرمول خطای درونیابی، و پدیده رونگه است که انگیزهای برای توزیع نقاط چبیشف میشود.
Core questions
- چرا چندجملهای درونیاب گذرنده از n+1 نقطه متمایز یکتا است و چگونه نمایش داده میشود؟
- فرمهای لاگرانژ و نیوتن چگونه با هم مقایسه میشوند و چرا فرم باریسنتریک برای ارزیابی ترجیح داده میشود؟
- فرمول خطای درونیابی در مورد دقت چه میگوید و چگونه جایگذاری گرهها بر آن تأثیر میگذارد؟
- چرا درونیابی در نقاط با فاصله یکسان برای درجات بالا با شکست مواجه میشود و چگونه گرههای چبیشف این مشکل را برطرف میکنند؟
Key theories
- وجود و یکتایی
- برای n+1 گره متمایز، دقیقاً یک چندجملهای با حداکثر درجه n وجود دارد که با مقادیر مشخص شده مطابقت دارد، که نتیجهای از غیرتکین بودن سیستم واندِرموند است؛ فرمهای لاگرانژ و نیوتن دو نمایش سازنده از این چندجملهای یکسان را ارائه میدهند.
- خطای درونیابی و انتخاب گره
- خطای درونیابی برابر است با تفاضل تقسیمشده مرتبه n+1 ضربدر چندجملهای گرهی؛ به حداقل رساندن حداکثر چندجملهای گرهی، انتخاب گرههای چبیشف را هدایت میکند، که پدیده رونگه را سرکوب کرده و دقت تقریباً بهینه را به ارمغان میآورند.
Mechanisms
فرم نیوتن درونیاب را به صورت افزایشی با استفاده از تفاضلات تقسیمشده میسازد، بنابراین اضافه کردن یک گره تنها به یک جمله اضافی نیاز دارد. فرم باریسنتریک درونیاب لاگرانژ را با وزنهای از پیش محاسبهشده بازنویسی میکند، که امکان ارزیابی درونیاب را در زمان خطی به ازای هر نقطه با پایداری عددی عالی فراهم میآورد. فرمول خطا تفاوت بین تابع و درونیاب را از طریق یک مشتق مرتبه بالا و حاصلضرب فواصل تا گرهها بیان میکند، که در داخل کوچک و در نزدیکی انتها برای گرههای با فاصله یکسان بزرگ است — منبع پدیده رونگه — اما برای گرههای چبیشف به طور یکنواخت محدود است.
Clinical relevance
درونیابی چندجملهای بلوک سازنده فرمولهای مشتقگیری و انتگرالگیری عددی، برای ساخت شبکههای (stencils) تربیع و تفاضل محدود، برای روشهای طیفی، و برای ارزیابی توابع جدولبندی شده است؛ تحلیل خطای آن چگونگی و مکان نمونهبرداری دادهها را برای بازسازی دقیق مشخص میکند.
History
فرمولهای درونیابی به نیوتن و لاگرانژ بازمیگردند، اما درک مدرن با مثال رونگه در سال 1901 که واگرایی در نقاط با فاصله یکسان را نشان داد و با شناسایی در قرن بیستم که گرههای چبیشف و فرمول پایدار باریسنتریک درونیابی با درجه بالا را هم دقیق و هم عملی میسازند، دقیقتر شد.
Key figures
- Joseph-Louis Lagrange
- Isaac Newton
- Carl Runge
- Pafnuty Chebyshev
Related topics
Seminal works
- trefethen2013
- powell1981
Frequently asked questions
- آیا یک چندجملهای درونیاب با درجه بالاتر همیشه دقیقتر است؟
- لزوماً خیر. با گرههای با فاصله یکسان، افزایش درجه میتواند باعث نوسانات بزرگ در نزدیکی انتهای بازه (پدیده رونگه) و کاهش دقت شود. استفاده از گرههای توزیعشده چبیشف یا درونیابی قطعهای (اسپلاین) همگرایی قابل اعتماد را بازمیگرداند.
- کدام نمایش از درونیاب باید در عمل استفاده شود؟
- فرم باریسنتریک عموماً ترجیح داده میشود: پس از محاسبه وزنهای آن، درونیاب را به سرعت ارزیابی میکند و از نظر عددی پایدار است، برخلاف حل مستقیم سیستم واندِرموند که بدحالت است.