تربیع نیوتن-کوتس
قوانین نیوتن-کوتس یک انتگرال را با انتگرالگیری از چندجملهای که تابع انتگرالده را در نقاط با فاصله مساوی درونیابی میکند، تقریب میزنند و فرمولهای آشنایی مانند قوانین ذوزنقهای و سیمپسون را ارائه میدهند.
Definition
قانون تربیع نیوتن-کوتس یک قانون تربیع درونیابی است که گرههای آن در سراسر بازه انتگرالگیری به طور مساوی فاصله دارند، با وزنهایی که با انتگرالگیری از چندجملهای درونیاب مربوطه به دست میآیند.
Scope
این موضوع شامل فرمولهای بسته و باز نیوتن-کوتس، درجات دقت و جملات خطای آنها، قوانین ذوزنقهای و سیمپسون مرکب که با تقسیم بازه به دست میآیند، انتگرالگیری رامبرگ از طریق برونیابی ریچاردسون، و ناپایداری قوانین نیوتن-کوتس با مرتبه بالا که درجه عملی آنها را محدود میکند، میشود.
Core questions
- قوانین ذوزنقهای و سیمپسون چگونه به عنوان درونیابهای انتگرالگیری شده استخراج میشوند؟
- جملات خطای این قوانین چیست، و چرا قانون سیمپسون به دلیل تقارن یک مرتبه اضافی به دست میآورد؟
- قوانین مرکب و برونیابی رامبرگ چگونه به طور سیستماتیک دقت را بهبود میبخشند؟
- چرا قوانین نیوتن-کوتس با مرتبه بالا ناپایدار میشوند و چه چیزی استفاده از آنها را محدود میکند؟
Key theories
- درجه دقت و جملات خطا
- قانون ذوزنقهای برای توابع انتگرالده خطی با خطایی متناسب با مشتق دوم دقیق است، در حالی که قانون سیمپسون، به دلیل تقارن، برای توابع مکعبی با خطایی متناسب با مشتق چهارم دقیق است و یک مرتبه فراتر از درجه درونیابی خود به دست میآورد.
- قوانین مرکب و انتگرالگیری رامبرگ
- اعمال یک قانون اساسی بر روی بسیاری از زیربازهها یک قانون مرکب را به دست میدهد که خطای آن به صورت چندجملهای در اندازه گام کاهش مییابد؛ برونیابی ریچاردسون از قانون ذوزنقهای مرکب، طرح رامبرگ با همگرایی سریع را تولید میکند.
Mechanisms
هر قانون اساسی، درونیاب با فاصله مساوی را دقیقاً انتگرال میگیرد: قانون ذوزنقهای یک برازش خط مستقیم را انتگرال میگیرد، قانون سیمپسون یک سهمی را. قوانین مرکب بازه را تقسیم کرده و قوانین اساسی را روی هر قطعه جمع میکنند، بنابراین نصف کردن اندازه گام به طور قابل پیشبینی خطا را کاهش میدهد. انتگرالگیری رامبرگ تخمینهای ذوزنقهای مرکب را در اندازههای گام متوالی نصف شده جدولبندی میکند و برونیابی ریچاردسون مکرر را اعمال میکند، جملات خطای پیشرو را حذف میکند تا دقت بالایی را برای توابع انتگرالده هموار به دست آورد. قوانین نیوتن-کوتس با مرتبه بالا در یک بازه واحد، وزنهای نوسانی بزرگ با علامتهای مختلط به دست میآورند که پدیده رونگه را منعکس میکند و باعث حذف و ناپایداری میشود.
Clinical relevance
قوانین نیوتن-کوتس، به ویژه اشکال ذوزنقهای و سیمپسون مرکب، ابزارهای تربیع کمهزینه پیشفرض هستند زمانی که نمونههای تابع انتگرالده به طور طبیعی با فاصله مساوی قرار دارند — برای مثال دادههای تجربی جدولبندی شده، انتگرالگیری سریهای زمانی، و پسپردازش شبیهسازی ساده — و انتگرالگیری رامبرگ نتایج دقیقی را برای توابع هموار با حداقل کدنویسی ارائه میدهد.
History
این قوانین از نیوتن و کوتس در اوایل قرن هجدهم و از توماس سیمپسون، که قانونش نام او را یدک میکشد، سرچشمه میگیرند؛ طرح برونیابی ورنر رامبرگ در سال ۱۹۵۵، قانون ذوزنقهای ابتدایی را به یک روش با دقت بالا تبدیل کرد و همچنان یک ابزار استاندارد آموزشی و محاسباتی است.
Key figures
- Isaac Newton
- Roger Cotes
- Thomas Simpson
- Werner Romberg
Related topics
Seminal works
- davis1984
- quarteroni2007
Frequently asked questions
- چرا قانون سیمپسون دقیقتر از قانون ذوزنقهای است؟
- قانون سیمپسون یک سهمی را از طریق سه نقطه به جای یک خط از طریق دو نقطه برازش میدهد، و به دلیل تقارن، چندجملهایهای مکعبی را دقیقاً انتگرال میگیرد، بنابراین خطای آن به مشتق چهارم بستگی دارد و با کاهش اندازه گام بسیار سریعتر کوچک میشود.
- چرا فقط از یک قانون نیوتن-کوتس با مرتبه بسیار بالا استفاده نمیکنیم؟
- قوانین نیوتن-کوتس با مرتبه بالا بر روی گرههای با فاصله مساوی، وزنهای بزرگی با علامتهای متناوب ایجاد میکنند که باعث حذف عددی و ناپایداری میشود. در عمل، به جای آن از قوانین مرکب با مرتبه پایین، برونیابی رامبرگ، یا تربیع گاوسی استفاده میشود.