تربیع گاوسی

تربیع گاوسی هم گره‌ها و هم وزن‌های یک قاعده تربیع را انتخاب می‌کند تا درجه چندجمله‌ای دقیق بودن آن را به حداکثر برساند و چندجمله‌ای‌های درجه 2n-1 را دقیقاً با تنها n ارزیابی تابع انتگرال‌گیری کند.

Definition

تربیع گاوسی خانواده‌ای از قواعد تربیع است که گره‌های آن ریشه‌های چندجمله‌ای‌های متعامد مرتبط با یک تابع وزن هستند، که همراه با وزن‌هایشان انتخاب می‌شوند تا حداکثر درجه ممکن از دقت را برای تعداد معینی از گره‌ها به دست آورند.

Scope

این موضوع شامل ساخت قواعد گاوسی از ریشه‌های چندجمله‌ای‌های متعامد، قاعده گاوس-لژاندر و انواع وزن‌دار (گاوس-چبیشف، گاوس-هرمیت، گاوس-لاگر)، الگوریتم مقدار ویژه گلب-ولش برای محاسبه گره‌ها و وزن‌ها، و تعمیم‌های گاوس-کرونرود است که برای تخمین خطای عملی استفاده می‌شوند.

Core questions

• چگونه قرار دادن گره‌ها در ریشه‌های چندجمله‌ای‌های متعامد درجه دقت را در مقایسه با قواعد گره ثابت دو برابر می‌کند؟
• گره‌ها و وزن‌ها چگونه برای یک تابع وزن معین به دقت محاسبه می‌شوند؟
• قواعد گاوسی وزن‌دار چگونه انتگرال‌ها را با توابع وزن تکین یا با دامنه بی‌نهایت مدیریت می‌کنند؟
• چگونه تخمین‌های خطای قابل اعتماد، به عنوان مثال از طریق جفت‌های گاوس-کرونرود، به دست می‌آیند؟

Key theories

حداکثر درجه دقت

یک قاعده تربیع n-نقطه‌ای می‌تواند برای چندجمله‌ای‌ها تا درجه 2n-1 دقیق باشد، و این حداکثر دقیقاً زمانی به دست می‌آید که گره‌ها ریشه‌های چندجمله‌ای متعامد درجه n برای تابع وزن باشند، با تمام وزن‌های مثبت.

الگوریتم گلب-ولش

گره‌ها و وزن‌های یک قاعده گاوسی به عنوان مقادیر ویژه و مؤلفه‌های اول بردار ویژه مجذور شده ماتریس ژاکوبی سه‌قطری متقارن که از ضرایب بازگشتی چندجمله‌ای‌های متعامد تشکیل شده است، به دست می‌آیند، که ساخت تربیع را به یک محاسبه مقدار ویژه تبدیل می‌کند.

Mechanisms

چندجمله‌ای‌های متعامد یک رابطه بازگشتی سه‌جمله‌ای را برآورده می‌کنند که ضرایب آن یک ماتریس ژاکوبی سه‌قطری متقارن را تشکیل می‌دهند؛ الگوریتم گلب-ولش مقادیر ویژه آن (گره‌های تربیع) را محاسبه می‌کند و از مؤلفه‌های اول بردارهای ویژه برای بازیابی وزن‌ها استفاده می‌کند، همه اینها به طور پایدار انجام می‌شود. تغییر تابع وزن — به تابعی با تکینگی‌های داخلی یا پشتیبانی شده در نیم‌خط یا کل خط — قواعد گاوس-چبیشف، گاوس-لاگر، یا گاوس-هرمیت را به دست می‌دهد که رفتارهای دشوار را به صورت تحلیلی جذب می‌کنند. قواعد گاوس-کرونرود گره‌های گاوس را دوباره استفاده می‌کنند و گره‌های درهم‌تنیده را اضافه می‌کنند تا یک تخمین مرتبه بالاتر، و در نتیجه یک تخمین خطا، با هزینه اضافی متوسط به دست آید.

Clinical relevance

تربیع گاوسی ابزار اصلی برای ارزیابی انتگرال‌های المان و سختی در تحلیل اجزای محدود، برای محاسبه گشتاورها و امید ریاضی در برابر توابع وزن احتمال در آمار و کمی‌سازی عدم قطعیت، و برای ارزیابی با دقت بالا انتگرال‌های هموار در سراسر فیزیک و مهندسی است، جایی که به حداقل رساندن تعداد ارزیابی‌های پرهزینه انتگرال‌دهنده از اهمیت بالایی برخوردار است.

History

گاوس تربیع بهینه خود را در سال 1814 استخراج کرد؛ ژاکوبی آن را به چندجمله‌ای‌های متعامد مرتبط کرد، و روش محاسباتی مدرن با الگوریتم گلب-ولش در سال 1969 پایه‌گذاری شد، که گره‌ها و وزن‌ها را به طور معمول قابل محاسبه کرد و قواعد گاوسی را وارد کتابخانه‌های عددی استاندارد نمود.

Key figures

• Carl Friedrich Gauss
• Carl Gustav Jacob Jacobi
• Gene H. Golub
• Walter Gautschi

Seminal works

• davis1984
• gautschi2004

Frequently asked questions

چگونه n نقطه می‌توانند یک چندجمله‌ای درجه 2n-1 را دقیقاً انتگرال‌گیری کنند؟

زیرا هم n گره و هم n وزن پارامترهای آزاد هستند، 2n درجه آزادی وجود دارد که برای تطبیق انتگرال‌های 2n چندجمله‌ای پایه (درجات 0 تا 2n-1) کافی است. قرار دادن گره‌ها در ریشه‌های چندجمله‌ای متعامد دقیقاً این را محقق می‌کند.

دقت یک قاعده گاوسی در عمل چگونه بررسی می‌شود؟

یک رویکرد رایج، جفت گاوس-کرونرود است که یک قاعده گاوس را با گره‌های اضافی تقویت می‌کند تا یک تخمین مرتبه بالاتر تولید کند؛ تفاوت بین دو تخمین به عنوان یک تخمین خطای عملی عمل می‌کند که توسط انتگرال‌گیرهای تطبیقی استفاده می‌شود.