نظریه تقریب
نظریه تقریب به بررسی این موضوع میپردازد که توابع تا چه حد میتوانند توسط توابع سادهتر — چندجملهایها، اسپلاینها، سریهای مثلثاتی یا توابع گویا — نمایش داده شوند و تقریبیهایی را میسازد که بهترین یا نزدیک به بهترین دقت را به دست میآورند.
Definition
نظریه تقریب شاخهای از آنالیز عددی است که به نمایش توابع توسط دستههای سادهتر توابع و کمیسازی خطای چنین نمایشهایی تحت معیارهای مختلف بهترین برازش میپردازد.
Scope
این حوزه شامل درونیابی و بهترین تقریب، همگرایی و خطای تقریبیهای چندجملهای و اسپلاین، معیارهای حداقل مربعات و مینیمم-ماکسیمم (چبیشف)، و نتایج نظری — وجود، یکتایی، و نرخهای همگرایی — است که میزان کاهش خطای تقریب را با افزایش درجات آزادی کمیسازی میکند.
Sub-topics
Core questions
- یک تابع معین تا چه حد میتواند توسط چندجملهایها، اسپلاینها یا توابع گویا با اندازه مشخص، به دقت تقریب زده شود؟
- کدام تقریبگر تحت یک معیار خطای انتخابی، مانند حداقل مربعات یا حداکثر (مینیمم-ماکسیمم) خطا، بهینه است؟
- همواری یک تابع چگونه نرخ کاهش خطای تقریب را کنترل میکند؟
- چه زمانی درونیابی به تابع اصلی همگرا میشود و چه زمانی با شکست مواجه میگردد؟
Key theories
- قضیه تقریب وایرشتراس
- هر تابع پیوسته بر روی یک بازه بسته و کراندار میتواند به طور یکنواخت و به هر میزان دلخواه توسط چندجملهایها تقریب زده شود، که نشان میدهد چندجملهایها در فضای توابع پیوسته چگال هستند و روشهای تقریب سازنده را تحریک میکند.
- بهترین تقریب و همنوسانی
- بهترین تقریب چندجملهای مینیمم-ماکسیمم یک تابع پیوسته وجود دارد، یکتا است، و با قضیه همنوسانی چبیشف مشخص میشود، که بیان میکند خطا در نقاط کافی به حداکثر مقدار خود با علامت متناوب میرسد.
- همواری و نرخهای همگرایی
- نرخ کاهش خطای تقریب توسط همواری تابع هدف کنترل میشود: توابع تحلیلی همگرایی هندسی تقریبیهای چندجملهای را میپذیرند، در حالی که توابع با مشتقات محدود تنها به صورت جبری همگرا میشوند.
Clinical relevance
نظریه تقریب زیربنای ساخت روشهای عددی دقیق در سراسر محاسبات علمی است: قواعد انتگرالگیری عددی، پایههای طیفی و اجزای محدود، برازش و هموارسازی دادهها، طراحی هندسی به کمک کامپیوتر، و روالهای توابع خاص و توابع مقدماتی که در نرمافزارهای عددی تعبیه شدهاند، همگی بر نتایجی استوارند که نشان میدهند توابع تا چه حد خوب و با چه هزینهای قابل تقریب هستند.
History
این موضوع از کار چبیشف در قرن نوزدهم در مورد بهترین تقریب یکنواخت و قضیه چگالی وایرشتراس نشأت گرفت، با مطالعه چندجملهایهای متعامد و سری فوریه پیشرفت کرد، و در عصر کامپیوتر با نظریه اسپلاین و روشهای عملی مبتنی بر چبیشف که در محاسبات عددی مدرن رایج شدند، شکل جدیدی به خود گرفت.
Key figures
- Pafnuty Chebyshev
- Karl Weierstrass
- Carl Runge
- Lloyd N. Trefethen
Related topics
Seminal works
- trefethen2013
- powell1981
- cheney1966
Frequently asked questions
- تفاوت بین درونیابی و بهترین تقریب چیست؟
- درونیابی تقریبیگر را مجبور میکند تا دقیقاً در نقاط انتخاب شده با تابع مطابقت داشته باشد، در حالی که بهترین تقریب یک معیار خطای کلی (مانند حداکثر یا حداقل مربعات) را به حداقل میرساند بدون اینکه لزوماً در هیچ نقطهای مطابقت داشته باشد. یک بهترین تقریبگر معمولاً در کل دقیقتر است اما ساخت آن دشوارتر است.
- چرا گاهی اوقات استفاده از نقاط درونیابی بیشتر وضعیت را بدتر میکند؟
- درونیابی چندجملهای با درجه بالا در نقاط با فاصله یکسان میتواند در نزدیکی انتهای بازه به شدت نوسان کند — پدیده رونگه — بنابراین خطا ممکن است به جای کاهش، افزایش یابد. انتخاب نقاط توزیع شده چبیشف یا استفاده از اسپلاینها از این امر جلوگیری میکند.