روشهای چندگامی خطی
روشهای چندگامی خطی، هر مقدار جدید حل را از ترکیب خطی چندین مقدار و مشتق حل قبلی محاسبه میکنند و با استفاده مجدد از کارهای گذشته، به مرتبه بالا با هزینه کم در هر گام دست مییابند.
Definition
یک روش چندگامی خطی، روشی برای معادلات دیفرانسیل معمولی است که مقدار حل بعدی را از طریق یک رابطه خطی ثابت بین تعدادی از مقادیر حل قبلی و ارزیابیهای سمت راست تعیین میکند.
Scope
این مبحث خانوادههای آدامز-بشفورث (صریح) و آدامز-مولتون (ضمنی)، فرمولهای تفاضل پسرو برای مسائل سخت، پیادهسازی پیشبین-تصحیحکننده، چندجملهایهای مشخصه و شرط ریشه که پایداری صفر را تعریف میکنند، و موانع مرتبه دالکویست که محدودیتهای این روشها را مشخص میکنند، پوشش میدهد.
Core questions
- چگونه روشهای چندگامی از مقادیر گذشته برای دستیابی به مرتبه بالا با یک ارزیابی تابع جدید در هر گام استفاده مجدد میکنند؟
- پایداری صفر چیست و چگونه شرط ریشه بر روی چندجملهای مشخصه آن را بیان میکند؟
- چگونه جفتهای پیشبین-تصحیحکننده فرمولهای صریح و ضمنی را در عمل ترکیب میکنند؟
- موانع مرتبه دالکویست در مورد محدودیتهای دقت و پایداری چندگامی چه میگویند؟
Key theories
- پایداری صفر و شرط ریشه
- یک روش چندگامی زمانی پایدار-صفر است و در نتیجه زمانی که سازگار باشد همگرا است، که ریشههای اولین چندجملهای مشخصه آن در دیسک واحد بسته قرار داشته باشند و فقط ریشههای ساده روی مرز باشند؛ این شرط ریشه مشابه پایداری در روشهای چندگامی است.
- موانع دالکویست
- اولین مانع دالکویست مرتبه یک روش k-گامی پایدار-صفر را محدود میکند، و دومین مانع او نشان میدهد که هیچ روش چندگامی خطی A-پایدار نمیتواند مرتبهای بزرگتر از دو داشته باشد، به همین دلیل حلکنندههای سخت با مرتبه بالا بر سازش BDF پایداری نسبی به جای پایداری مطلق تکیه میکنند.
Mechanisms
روشهای آدامز یک چندجملهای درونیاب را از طریق مقادیر مشتق گذشته انتگرالگیری میکنند: آدامز-بشفورث فقط از مقادیر معلوم استفاده میکند (صریح)، آدامز-مولتون شامل مقدار جدید نامعلوم (ضمنی) برای دقت و پایداری بیشتر است. در عمل، این دو به صورت یک پیشبین-تصحیحکننده با هم جفت میشوند: فرمول صریح پیشبینی میکند، فرمول ضمنی تصحیح میکند، معمولاً در یک یا دو تکرار. فرمولهای تفاضل پسرو به جای آن، مقادیر حل گذشته را برای تقریب مشتق در نقطه جدید تفاضلگیری میکنند و روشهای پایدار-سخت را در قلب کدهای ODE سخت ارائه میدهند. از آنجا که روشهای چندگامی به چندین مقدار شروع نیاز دارند، توسط یک روش تکگامی بوتاسترپ میشوند.
Clinical relevance
روشهای چندگامی خطی، به ویژه فرمولهای تفاضل پسرو، به حلکنندههای ODE سخت تولیدی که در سینتیک شیمیایی، شبیهسازی مدارهای الکترونیکی، و سیستمهای دیفرانسیل-جبری بزرگ استفاده میشوند، قدرت میبخشند، جایی که ارزیابی سمت راست پرهزینه است و استفاده مجدد از ارزیابیهای گذشته از طریق فرمولهای چندگامی منجر به افزایش عمده کارایی میشود.
History
آدامز و بشفورث فرمولهای چندگامی را در قرن نوزدهم معرفی کردند، و مولتون انواع ضمنی را اضافه کرد؛ تحلیل دالکویست در دهههای ۱۹۵۰-۱۹۶۰ نظریه پایداری و موانع مرتبه را که بر این حوزه حاکم است، پایهگذاری کرد، و کار سی. ویلیام گیر در دهه ۱۹۷۰ کدهای فرمول تفاضل پسرو را به استاندارد برای مسائل سخت تبدیل کرد.
Key figures
- John Couch Adams
- Francis Bashforth
- Forest Ray Moulton
- Germund Dahlquist
- C. William Gear
Related topics
Seminal works
- hairer1993
- iserles2008
Frequently asked questions
- روشهای چندگامی چه تفاوتی با روشهای رونگه-کوتا دارند؟
- روشهای رونگه-کوتا چندین ارزیابی مشتق جدید را در هر گام انجام میدهند اما پس از آن آنها را دور میاندازند، در حالی که روشهای چندگامی از مقادیر مشتق از گامهای قبلی استفاده مجدد میکنند. بنابراین روشهای چندگامی در هر گام ارزانتر هستند اما به مقادیر شروع اضافی و مدیریت ویژه تغییرات اندازه گام نیاز دارند.
- شرط ریشه چیست؟
- این شرطی است که ریشههای اولین چندجملهای مشخصه روش باید در داخل یا روی دایره واحد قرار گیرند، با ریشههای مرزی ساده. این تضمین میکند که خطاهای کوچک با انباشت گامها تقویت نمیشوند و پایداری صفر روش و در نتیجه همگرایی آن را تضمین میکند.