نظریه همیلتون-ژاکوبی

نظریه همیلتون-ژاکوبی به دنبال یک تبدیل کانونیک به متغیرهایی است که در آن حرکت ناچیز است و مکانیک را به حل یک معادله دیفرانسیل جزئی مرتبه اول برای عمل (action) تقلیل می‌دهد.

Definition

نظریه همیلتون-ژاکوبی فرمول‌بندی مکانیک است که در آن یک معادله دیفرانسیل جزئی مرتبه اول، یعنی معادله همیلتون-ژاکوبی، برای یک تابع مولد حل می‌شود که به مختصاتی تبدیل می‌شود که در آن تمام تکانه‌ها ثابت هستند و حرکت بلافاصله مشخص می‌شود.

Scope

این موضوع شامل معادله همیلتون-ژاکوبی برای توابع اصلی و مشخصه همیلتون، روش جداسازی متغیرها برای حل آن، ساخت متغیرهای عمل-زاویه برای سیستم‌های تناوبی و چند-تناوبی، و نقش این نظریه به عنوان حد کلاسیک و جد مفهومی مکانیک موجی است.

Core questions

• معادله همیلتون-ژاکوبی چیست و چه تابعی را تعیین می‌کند؟
• چگونه جداسازی متغیرها معادله را برای سیستم‌های انتگرال‌پذیر قابل حل می‌کند؟
• متغیرهای عمل-زاویه چه هستند و چرا ارزشمندند؟

Key concepts

• تابع اصلی همیلتون
• تابع مشخصه همیلتون
• جداسازی متغیرها
• متغیرهای عمل-زاویه
• انتگرال کامل

Key theories

معادله همیلتون-ژاکوبی

یک معادله دیفرانسیل جزئی غیرخطی مرتبه اول برای تابع اصلی همیلتون که حل کامل آن یک تبدیل کانونیک ایجاد می‌کند و سیستم را به مختصات و تکانه‌های جدید ثابت کاهش می‌دهد.

متغیرهای عمل-زاویه

برای سیستم‌های تناوبی، این نظریه متغیرهای عمل را ارائه می‌دهد که ثابت‌های حرکت هستند و متغیرهای زاویه مزدوج که به طور یکنواخت در زمان پیش می‌روند، که برای نظریه اغتشاش و کوانتش ایده‌آل هستند.

Clinical relevance

نظریه همیلتون-ژاکوبی چارچوبی برای کوانتش بور-زومرفلد در نظریه کوانتومی قدیمی فراهم کرد، حد ایکونال و اپتیک هندسی معادلات موج را پیش‌بینی می‌کند، و از طریق معادله همیلتون-ژاکوبی-بلمن مرتبط که در مهندسی و اقتصاد استفاده می‌شود، زیربنای نظریه کنترل بهینه است.

History

همیلتون تابع اصلی را در اپتیک و مکانیک در اوایل دهه ۱۸۳۰ توسعه داد، و ژاکوبی این نظریه را بازفرمول‌بندی و تکمیل کرد، شکل مدرن معادله را ارائه داد و قدرت آن را برای انتگرال‌گیری مسائل دینامیکی نشان داد. در اوایل قرن بیستم، فرمول‌بندی عمل-زاویه اساس قوانین کوانتش زومرفلد شد و مکانیک کلاسیک را به نظریه کوانتومی نوظهور پیوند داد.

Key figures

• William Rowan Hamilton
• Carl Gustav Jacob Jacobi
• Arnold Sommerfeld

Seminal works

• goldstein2002
• landau1976

Frequently asked questions

چرا به جای معادلات حرکت معمولی، یک معادله دیفرانسیل جزئی را حل کنیم؟

یک حل کامل از معادله همیلتون-ژاکوبی یک تبدیل کانونیک ایجاد می‌کند که کل حرکت را به یکباره صریح می‌کند، که برای سیستم‌های جدایی‌پذیر و انتگرال‌پذیر قدرتمندتر از انتگرال‌گیری مستقیم معادلات معمولی کوپل‌شده است.

این نظریه چگونه به مکانیک کوانتومی متصل می‌شود؟

معادله همیلتون-ژاکوبی حد طول موج کوتاه معادله شرودینگر است، و تابع اصلی همیلتون نقش فاز تابع موج کوانتومی را ایفا می‌کند، که این نظریه را به اسکلت کلاسیک مکانیک موجی تبدیل می‌کند.