حساب تغییرات
حساب تغییرات به دنبال توابعی است که انتگرالهای تابعی را بهینه میکنند و تعمیمدهنده بیشینهسازی و کمینهسازی معمولی از نقاط به منحنیها و میدانها است.
Definition
حساب تغییرات به مطالعه توابعکها میپردازد که به توابع اعداد نسبت میدهند و به دنبال توابعی است که در آنها یک تابعک، با توجه به شرایط مرزی و جانبی، ساکن است یا به یک مقدار حدی میرسد.
Scope
این حوزه شامل استخراج معادلات اویلر-لاگرانژ به عنوان شرایط لازم برای یک اکسترمم، مسائل تغییراتی با قیود و مرزهای آزاد، شرایط تغییرات دوم و تحدب برای مینیممها، روش مستقیم برای اثبات وجود مینیممکنندهها، و ارتباط با مکانیک هامیلتونی و کنترل بهینه است.
Sub-topics
Core questions
- کدام توابع یک انتگرال تابعی معین را ساکن میکنند؟
- چه شرایط لازم و کافی یک مینیممکننده را شناسایی میکند؟
- چه زمانی یک مینیممکننده واقعاً وجود دارد؟
- چگونه اصول تغییراتی قوانین فیزیک را کدگذاری میکنند؟
Key theories
- معادلات اویلر-لاگرانژ
- تابعی که یک انتگرال تابعی را بهینه میکند، باید معادله دیفرانسیل اویلر-لاگرانژ را برآورده کند، که مشابه تغییراتی صفر قرار دادن مشتق است.
- روش مستقیم
- وجود یک مینیممکننده با در نظر گرفتن یک دنباله مینیممکننده و استفاده از فشردگی و نیمپیوستگی پایینتر اثبات میشود، که از حل صریح معادله اویلر-لاگرانژ صرف نظر میکند.
- اصول تغییراتی در فیزیک
- اصل عمل ساکن هامیلتون، مکانیک و نظریه میدان را به عنوان مسائل تغییراتی بازنویسی میکند و معادلات حاکم بر آنها را از طریق حساب تغییرات یکپارچه میسازد.
Clinical relevance
روشهای تغییراتی قوانین بنیادی فیزیک را از طریق اصول کمترین عمل و حداقل انرژی بیان میکنند و زیربنای کنترل بهینه، هندسه سطوح مینیمال و ژئودزیکها، پردازش تصویر، و روش اجزای محدود در مهندسی هستند.
History
این موضوع با مسئله براکیستوکرون که توسط یوهان برنولی در سال ۱۶۹۶ مطرح شد، آغاز گشت. اویلر و لاگرانژ نظریه عمومی و معادله اویلر-لاگرانژ را در قرن هجدهم توسعه دادند، هامیلتون مکانیک را به صورت تغییراتی بازنویسی کرد، و روش مستقیم قرن بیستم هیلبرت و مسئله بیست و سوم او نظریه وجود را احیا کرد.
Key figures
- Leonhard Euler
- Joseph-Louis Lagrange
- William Rowan Hamilton
- David Hilbert
Related topics
Seminal works
- gelfand1963
- courant1953
- dacorogna2008
Frequently asked questions
- حساب تغییرات چه تفاوتی با حساب معمولی دارد؟
- حساب معمولی نقاطی را پیدا میکند که یک تابع در آنها بیشترین یا کمترین مقدار را دارد، در حالی که حساب تغییرات توابع کاملی مانند منحنیها یا سطوح را پیدا میکند که یک انتگرال را بهینه میکنند. مجهول یک تابع است نه یک عدد، و شرط برای یک اکسترمم یک معادله دیفرانسیل است.
- اصل کمترین عمل چیست؟
- این یک بیان فیزیکی است که حرکت یک سیستم مقداری به نام عمل را ساکن میکند. اعمال حساب تغییرات به عمل، معادلات حرکت را به دست میدهد، بنابراین بخش زیادی از فیزیک کلاسیک و کوانتومی را میتوان از یک اصل تغییراتی واحد استخراج کرد.