نظریه مجانبی

نظریه مجانبی به بررسی رفتار برآوردگرها و آزمون‌ها با افزایش نامحدود اندازه نمونه می‌پردازد و تقریب‌های قابل‌مدیریتی را ارائه می‌دهد، به‌ویژه زمانی که توزیع‌های دقیق غیرقابل‌مدیریت هستند.

Definition

نظریه مجانبی بخشی از آمار ریاضی است که توزیع‌های حدی و تقریب‌ها را برای رویه‌های آماری با میل کردن اندازه نمونه به بی‌نهایت استخراج می‌کند و از آن‌ها برای مقایسه و توجیه این رویه‌ها استفاده می‌کند.

Scope

این حوزه شامل حالت‌های همگرایی و قضایای نگاشت پیوسته و اسلاتسکی، سازگاری برآوردگرها، نرمالیته مجانبی و روش دلتا، برآورد M و Z به عنوان چارچوبی یکپارچه برای برآوردگرهای تعریف‌شده توسط بیشینه‌سازی یا معادلات برآورد، نظریه فرآیندهای تجربی و قوانین یکنواخت و قضایای حد مرکزی بر روی کلاس‌های توابع، پیوستگی، نرمالیته مجانبی محلی، و قضایای کانولوشن و مینیمم-ماکس مجانبی محلی است که کارایی مجانبی را تعریف می‌کنند.

Sub-topics

• کارایی مجانبی و نظریه لو کام
• سازگاری و نرمالیتی مجانبی
• برآوردگرهای M و فرایندهای تجربی

Core questions

• برای یک برآوردگر، سازگار و مجانباً نرمال بودن به چه معناست؟
• روش دلتا چگونه نرمالیته مجانبی را از طریق تبدیل‌های هموار منتشر می‌کند؟
• برآورد M چگونه حداکثر درست‌نمایی، حداقل مربعات و برآوردگرهای مقاوم را یکپارچه می‌کند؟
• کارایی مجانبی چیست و نظریه لو کام چگونه بهترین واریانس حدی قابل دستیابی را مشخص می‌کند؟

Key theories

سازگاری و نرمالیته مجانبی

تحت شرایط منظم، برآوردگرها در احتمال به پارامتر واقعی همگرا می‌شوند و با مقیاس‌بندی توسط ریشه دوم اندازه نمونه، به یک توزیع نرمال همگرا می‌شوند که خطاهای استاندارد و فواصل اطمینان والد را توجیه می‌کند.

برآورد M و فرآیندهای تجربی

برآوردگرهایی که یک معیار نمونه را بیشینه می‌کنند یا معادلات برآورد را حل می‌کنند، به طور یکنواخت از طریق نظریه فرآیندهای تجربی تحلیل می‌شوند، که قوانین یکنواخت اعداد بزرگ و قضایای حد مرکزی مورد نیاز استدلال‌ها را فراهم می‌کند.

نرمالیته مجانبی محلی و کارایی

نرمالیته مجانبی محلی لو کام، یک مدل هموار نزدیک به حقیقت را به یک آزمایش نرمال کاهش می‌دهد؛ سپس قضایای کانولوشن و مینیمم-ماکس مجانبی محلی، بهترین واریانس مجانبی قابل دستیابی را تعریف می‌کنند.

Clinical relevance

تقریب‌های مجانبی، خطاهای استاندارد، فواصل اطمینان والد و نسبت درست‌نمایی، و آزمون‌های نمونه بزرگ را که تقریباً توسط تمام نرم‌افزارهای آماری گزارش می‌شوند، فراهم می‌کنند؛ بنابراین، اعتبار استنتاج روتین در علوم بر صحت این قضایای حدی در تقریب خوب استوار است.

History

با تکیه بر قضیه حد مرکزی کلاسیک، لو کام از دهه 1950 به بعد نظریه پیوستگی، نرمالیته مجانبی محلی و کارایی مجانبی را توسعه داد. قضیه کانولوشن هاجک و برنامه فرآیندهای تجربی اواخر قرن بیستم، که توسط ون در وارت سنتز شد، چارچوب مدرن را تکمیل کردند.

Key figures

• Lucien Le Cam
• Aad van der Vaart
• Jaroslav Hajek
• Peter J. Bickel

Seminal works

• vanderVaart1998

Frequently asked questions

چرا به جای توزیع‌های دقیق، به مجانبی‌ها تکیه کنیم؟

توزیع‌های دقیق نمونه محدود معمولاً ناشناخته یا غیرقابل‌مدیریت هستند، در حالی که تقریب‌های حدی نرمال و کای‌دو ساده، به طور گسترده قابل استفاده و برای اندازه‌های نمونه متوسط دقیق هستند.

اندازه نمونه برای اعمال مجانبی‌ها چقدر باید باشد؟

پاسخ جهانی وجود ندارد؛ این به مدل، پارامتر و چولگی داده‌ها بستگی دارد. تقریب‌ها می‌توانند برای چند ده مشاهده عالی باشند یا برای صدها مشاهده نزدیک به یک مرز ضعیف باشند، به همین دلیل بررسی‌های بازنمونه‌گیری رایج هستند.