قضیه حد مرکزی
قضیه حد مرکزی بیان میکند که مجموع بسیاری از متغیرهای تصادفی مستقل، پس از مرکزیت و مقیاسبندی مجدد، توزیع تقریباً نرمالی خواهد داشت، صرفنظر از شکل متغیرهای منفرد، به همین دلیل است که منحنی زنگولهای در سراسر علم ظاهر میشود.
Definition
قضیه حد مرکزی بیان میکند که برای متغیرهای تصادفی مستقل با توزیع یکسان و میانگین و واریانس محدود، مجموع استاندارد شده در توزیع به قانون نرمال استاندارد همگرا میشود، با افزایش تعداد جملات.
Scope
این موضوع قضیه حد مرکزی کلاسیک را برای متغیرهای مستقل با توزیع یکسان و واریانس محدود، شرایط لیندبرگ و لیاپانوف را برای آرایههای مثلثی از متغیرهای مستقل، روش اثبات تابع مشخصه، کران بری-اسین بر نرخ همگرایی، و تعمیم به حدود پایدار غیر گاوسی در زمانی که واریانس نامحدود است، پوشش میدهد.
Core questions
- چرا توزیع نرمال حد جهانی مجموعهای استاندارد شده است؟
- چه شرایطی، مانند شرط لیندبرگ، زمانی که جمعشوندگان به طور یکسان توزیع نشدهاند، مورد نیاز است؟
- با چه سرعتی توزیع یک مجموع نرمال شده به قانون نرمال نزدیک میشود؟
- چه چیزی جایگزین حد نرمال میشود وقتی واریانس نامحدود است؟
Key concepts
- همگرایی در توزیع
- شرط لیندبرگ
- شرط لیاپانوف
- نرخ بری-اسین
- حدود پایدار
Key theories
- قضیه حد مرکزی کلاسیک
- برای متغیرهای مستقل با توزیع یکسان و واریانس محدود، مجموع منهای میانگین آن و تقسیم بر ریشه دوم تعداد جملات ضربدر انحراف معیار، در توزیع به نرمال استاندارد همگرا میشود، که به طور واضح با توابع مشخصه اثبات شده است.
- قضیه لیندبرگ-فلر
- برای آرایههای مثلثی از متغیرهای مستقل، شرط لیندبرگ، مبنی بر اینکه هیچ جمله واحدی سهم ناچیزی از واریانس را ندارد، برای نرمالیته مجانبی کافی و اساساً ضروری است و کلیترین شکل کلاسیک قضیه را ارائه میدهد.
- کران بری-اسین
- هنگامی که گشتاور سوم محدود وجود دارد، حداکثر خطای تقریب نرمال برای توزیع یک مجموع استاندارد شده توسط یک ثابت ضربدر گشتاور مطلق سوم تقسیم بر واریانس به توان سه دوم و ریشه دوم اندازه نمونه محدود میشود.
Clinical relevance
قضیه حد مرکزی سنگ بنای استنباط آماری است: این قضیه تقریب نرمال را که زیربنای فواصل اطمینان، آزمونهای z و t، و توزیع مجانبی برآوردگرها است، توجیه میکند و توضیح میدهد که چرا خطاهای اندازهگیری و مقادیر تجمعی در علوم مختلف اغلب تقریباً گاوسی هستند.
History
دو موآور و لاپلاس تقریب نرمال را برای توزیع دوجملهای در قرن هجدهم کشف کردند. لیاپانوف اولین اثبات کلی دقیق را با استفاده از گشتاورها ارائه داد، لیندبرگ شرط قطعی را فراهم کرد، و فلر نشان داد که این شرط اساساً ضروری است، در حالی که بری و اسین نرخ همگرایی را کمیسازی کردند.
Key figures
- Abraham de Moivre
- Pierre-Simon Laplace
- Aleksandr Lyapunov
- Jarl Waldemar Lindeberg
Related topics
Seminal works
- billingsley1995
Frequently asked questions
- آیا قضیه حد مرکزی مستلزم آن است که جمعشوندگان به طور نرمال توزیع شده باشند؟
- خیر؛ نکته قابل توجه این است که متغیرهای منفرد میتوانند تقریباً هر توزیعی با واریانس محدود داشته باشند، و مجموع استاندارد شده آنها همچنان با افزایش تعداد جملات به قانون نرمال گرایش پیدا میکند.
- اندازه نمونه برای اینکه تقریب نرمال خوب باشد چقدر باید بزرگ باشد؟
- پاسخ جهانی وجود ندارد؛ کران بری-اسین نشان میدهد که خطا به گشتاور سوم بستگی دارد و مانند یک بر ریشه دوم اندازه نمونه کاهش مییابد، بنابراین جمعشوندگان کج یا دارای دنباله سنگین برای یک تقریب خوب به نمونههای بزرگتری نیاز دارند.