پارادوکسهای نظریه مجموعهها و نظریه انواع
مجموعه همه مجموعههایی که عضو خود نیستند، هم عضو خود هست و هم عضو خود نیست – پارادوکس راسل نظریه مجموعههای سادهانگارانه را در هم شکست و بنیانهای منطق را از نو شکل داد.
Definition
پارادوکسهای نظریه مجموعهها تناقضاتی هستند که در نظریه مجموعههای سادهانگارانه از اصل جامعیت نامحدود (که هر شرطی یک مجموعه را تعریف میکند) قابل استنتاج هستند؛ نظریه انواع با مرتبسازی موجودیتها در یک سلسلهمراتب از انواع و ممنوع کردن عضویت یک مجموعه در خودش، آنها را مسدود میکند.
Scope
این موضوع به پارادوکسهای منطقی و نظریه مجموعهها و پاسخهای بنیادی که آنها برانگیختند، میپردازد. این شامل پارادوکس راسل در مورد مجموعه همه مجموعههایی که عضو خود نیستند، پارادوکس بورالی-فورتی در مورد بزرگترین عدد ترتیبی، و پارادوکس کانتور در مورد مجموعه جهانی است؛ تشخیص راسل از طریق اصل دور باطل و نظریه انواع منشعب حاصل از آن در «پرینکیپیا ماتماتیکا»؛ و پاسخ جایگزین نظریه مجموعههای اصل موضوعی (زرملو-فرانکل) که اصل جامعیت را برای جلوگیری از پارادوکسها محدود میکند.
Core questions
- چه فرضی در نظریه مجموعههای سادهانگارانه پارادوکس راسل را ایجاد میکند؟
- آیا اجتناب از پارادوکسها مستلزم اصل دور باطل و محدودیتهای نوعی است؟
- نظریه انواع و نظریه مجموعههای اصل موضوعی به عنوان پاسخها چه تفاوتی دارند؟
- آیا پارادوکسهای منطقی اساساً با پارادوکسهای معنایی یکسان هستند؟
Key concepts
- جامعیت نامحدود
- پارادوکس راسل
- پارادوکسهای بورالی-فورتی و کانتور
- اصل دور باطل
- نظریه انواع
- اصل موضوع جداسازی
Key theories
- نظریه انواع منشعب
- راسل پارادوکسها را با اصل دور باطل و سلسلهمراتبی از انواع مسدود میکند که در آن یک موجودیت تنها میتواند بر اساس موجودیتهای پایینتر در سلسلهمراتب تعریف شود، و از عضویت در خود و تعاریف خودکاربرد جلوگیری میکند.
- جامعیت محدود
- نظریه مجموعههای اصل موضوعی (زرملو-فرانکل) جامعیت نامحدود را به نفع جداسازی و جایگزینی کنار میگذارد، به طوری که هیچ مجموعهای از همه مجموعههایی که عضو خود نیستند نمیتواند تشکیل شود، و پارادوکس راسل را بدون سلسلهمراتب نوعی حل میکند.
History
راسل پارادوکس خود را در سال ۱۹۰۱ هنگام مطالعه منطقگرایی فرگه کشف کرد و قانون بنیادی پنجم فرگه را تضعیف نمود. نظریه انواع راسل در سال ۱۹۰۸ و «پرینکیپیا ماتماتیکا» در سال ۱۹۱۰ یک راه حل ارائه دادند؛ اصل موضوعیسازی زرملو در سال ۱۹۰۸، که بعدها توسط فرانکل گسترش یافت، راه حل دیگری ارائه داد، و این دو رویکرد بنیانهای مدرن و نظریه انواع ساده مورد استفاده در منطق و علوم کامپیوتر را تشکیل میدهند.
Debates
- انواع در مقابل نظریه مجموعههای اصل موضوعی
- اینکه آیا بهتر است از پارادوکسها با یک سلسلهمراتب نوعی مبتنی بر اصل دور باطل اجتناب شود یا با محدود کردن اصول موضوع وجود مجموعه، و هر رویکرد چه معنایی برای ماهیت مجموعهها، کلاسها، و تعاریف پیشگویانه در مقابل ناپیشگویانه دارد.
Key figures
- Bertrand Russell
- Alfred North Whitehead
- Gottlob Frege
- Ernst Zermelo
- Cesare Burali-Forti
Related topics
Seminal works
- russell1908
- whiteheadrussell1910
Frequently asked questions
- پارادوکس راسل به زبان ساده چیست؟
- مجموعه R را در نظر بگیرید که شامل همه مجموعههایی است که عضو خود نیستند. بپرسید که آیا R عضو خودش است. اگر باشد، طبق تعریف خودش نباید باشد؛ اگر نباشد، پس واجد شرایط است و باید باشد. هر دو پاسخ با دیگری در تناقض است، که نشان میدهد فرض نظریه مجموعههای سادهانگارانه مبنی بر اینکه هر ویژگی یک مجموعه را تعریف میکند، باید اشتباه باشد.