قضایای گودل و فلسفه آنها
گودل با کدگذاری خودارجاعی در حساب، ثابت کرد که هر سیستم صوری سازگار که به اندازه کافی برای حساب غنی باشد، شامل جملات درستی است که نمیتواند آنها را اثبات کند.
Definition
قضیه اول ناتمامیت گودل بیان میکند که هر سیستم صوری سازگار، به طور مؤثر اصلبندی شده و قادر به بیان حساب مقدماتی، شامل یک جمله درست است که نه میتواند آن را اثبات کند و نه رد؛ قضیه دوم بیان میکند که هیچ سیستم این چنینی نمیتواند سازگاری خود را اثبات کند.
Scope
این موضوع قضایای ناتمامیت گودل و تفسیر فلسفی آنها را پوشش میدهد. این مبحث به تکنیک حسابسازی (شمارهگذاری گودل) و لم قطری که یک جمله خودارجاعی «من قابل اثبات نیستم» را میسازد؛ قضیه اول (چنین سیستمهایی ناتمام هستند) و قضیه دوم (آنها نمیتوانند سازگاری خود را اثبات کنند)؛ و کاربردهای فلسفی بحثبرانگیز این قضایا — ادعاهایی درباره محدودیتهای فرمالیسم و برنامه هیلبرت، و استدلالهای لوکاس-پنروز مبنی بر اینکه ذهن انسان از هر الگوریتمی فراتر است، میپردازد.
Core questions
- چگونه شمارهگذاری گودل به حساب اجازه میدهد درباره اثباتهای خود صحبت کند؟
- قضایای ناتمامیت دقیقاً چه چیزی را اثبات میکنند و برای کدام سیستمها؟
- این قضایا برای برنامه هیلبرت و منطقگرایی چه معنایی داشتند؟
- آیا این قضایا نشان میدهند که ذهن از ماشینها پیشی میگیرد؟
Key concepts
- شمارهگذاری گودل (حسابسازی)
- لم قطری
- جمله گودل
- قضایای اول و دوم ناتمامیت
- برنامه هیلبرت
- سازگاری و امگا-سازگاری
Key theories
- ناتمامیت از طریق قطریسازی
- گودل نحو را حسابسازی میکند به طوری که یک فرمول میتواند عدم اثباتپذیری خود را بیان کند؛ جمله حاصل درست است (اگر سیستم سازگار باشد) اما غیرقابل اثبات، که ناتمامیت را اثبات میکند، و قضیه دوم نشان میدهد که سازگاری خود در داخل سیستم غیرقابل اثبات است.
- استدلال لوکاس-پنروز
- لوکاس از قضیه گودل استدلال میکند که چون انسان میتواند حقیقت جمله گودل هر ماشین سازگار مدلسازی ذهن را ببیند، ذهن نمیتواند چنین ماشینی باشد؛ این استدلال به طور گسترده مورد مناقشه است.
History
گودل قضایای ناتمامیت را در سال ۱۹۳۱ اثبات کرد و به طور قاطع برنامه هیلبرت برای اثبات کامل و سازگار بودن ریاضیات با روشهای متناهی را محدود کرد. این نتایج در فلسفه ریاضیات و ذهن طنینانداز شد، به طوری که لوکاس (۱۹۶۱) و بعدها پنروز نتایج ضد مکانیکی را استخراج کردند که ادبیات انتقادی گستردهای را به دنبال داشت.
Debates
- آیا این قضایا مکانیسم درباره ذهن را رد میکنند؟
- اینکه آیا استدلال لوکاس-پنروز به درستی از ناتمامیت نتیجه میگیرد که بینش ریاضی انسان از هر الگوریتمی فراتر میرود، یا اینکه با فرض اینکه ما همیشه میتوانیم سازگاری خود را بدانیم و جمله گودل مربوطه را تشخیص دهیم، زیادهروی میکند.
Key figures
- Kurt Godel
- David Hilbert
- J. R. Lucas
- Roger Penrose
- Peter Smith
Related topics
Seminal works
- godel1931
- smith2013
Frequently asked questions
- آیا قضیه گودل به این معنی است که ریاضیات خراب است؟
- خیر. این بدان معناست که هیچ سیستم صوری سازگار واحدی نمیتواند هر حقیقت حسابی را اثبات کند، و هیچ کدام نمیتوانند سازگاری خود را از درون تأیید کنند. ریاضیات به خوبی پیش میرود؛ این قضایا در عوض یک محدودیت اصولی بر آنچه هر سیستم اصلبندی شده ثابتی میتواند انجام دهد، قرار میدهند و امید به یک بنیاد کامل و خودتأییدکننده را رد میکنند.