نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها (ZFC)

نظریه مجموعه‌های زرملو-فرانکل با اصل انتخاب (ZFC) یک سیستم اصل موضوعی مرتبه اول است که به عنوان مبنای رسمی استاندارد ریاضیات مدرن عمل می‌کند.

Definition

ZFC یک نظریه در منطق مرتبه اول با یک نماد رابطه دوتایی برای عضویت است که اصول موضوعه آن (گسترش‌پذیری، زوج‌سازی، اجتماع، مجموعه توانی، بی‌نهایت، جداسازی، جایگزینی، بنیاد و انتخاب) جهان مجموعه‌ها را توصیف می‌کنند و از آنها می‌توان ریاضیات عادی را استخراج کرد.

Scope

این موضوع شامل اصول موضوعه منفرد ZFC، سلسله مراتب تجمعی مجموعه‌هایی که آنها تولید می‌کنند، نقش طرح‌واره‌های اصل موضوعی جداسازی و جایگزینی، و وضعیت ویژه اصل انتخاب است. این موضوع توضیح می‌دهد که چگونه اشیاء ریاضی آشنا به عنوان مجموعه‌ها در این سیستم کدگذاری می‌شوند.

Core questions

• هر اصل موضوعه ZFC چه چیزی را بیان می‌کند و چرا به آن نیاز است؟
• سلسله مراتب تجمعی چگونه جهان مجموعه‌ها را سازماندهی می‌کند؟
• چرا اصل انتخاب متمایز شده و چه پیامدهایی دارد؟
• اعداد، توابع و روابط چگونه به عنوان مجموعه‌ها در ZFC ساخته می‌شوند؟

Key theories

اصل موضوعه گسترش‌پذیری و بنیاد

گسترش‌پذیری بیان می‌کند که مجموعه‌ها توسط اعضایشان تعیین می‌شوند، و بنیاد زنجیره‌های عضویت نزولی بی‌نهایت را رد می‌کند و جهان را به عنوان یک سلسله مراتب تجمعی خوش‌بنیاد ساختار می‌دهد.

طرح‌واره‌های جداسازی و جایگزینی

جداسازی زیرمجموعه‌هایی را که توسط یک ویژگی تعریف شده‌اند، تشکیل می‌دهد، و جایگزینی اجازه می‌دهد که تصویر یک مجموعه تحت یک تابع کلاس قابل تعریف، یک مجموعه باشد، که با هم قدرت لازم برای ساخت مجموعه‌های بزرگ را بدون معرفی مجدد پارادوکس‌های کلاسیک فراهم می‌کنند.

اصل انتخاب

اصل انتخاب بیان می‌کند که هر مجموعه‌ای از مجموعه‌های ناتهی دارای یک تابع انتخاب است؛ این اصل معادل لم زورن و قضیه خوش‌ترتیبی است و در بسیاری از ریاضیات ضروری است، با این حال مستقل از سایر اصول موضوعه است.

Clinical relevance

ZFC چارچوب ضمنی است که بیشتر ریاضیدانان فعال در آن استدلال می‌کنند: این نظریه تعیین می‌کند که چه اشیائی وجود دارند و چه ساختارهایی مشروع هستند، بنابراین درک اصول موضوعه آن روشن می‌کند که کدام استدلال‌ها از نظر بنیادی صحیح هستند و کدام یک به انتخاب یا سایر اصول مورد مناقشه بستگی دارند.

History

زرملو اولین اصل موضوعی‌سازی را در سال 1908 برای تضمین اثبات خود از قضیه خوش‌ترتیبی پیشنهاد کرد؛ فرانکل و اسکلم طرح‌واره جایگزینی را در دهه 1920 اضافه کردند و فون نویمان سلسله مراتب تجمعی و بنیاد را روشن کرد و سیستمی را که اکنون ZFC نامیده می‌شود، تولید کرد.

Key figures

• Ernst Zermelo
• Abraham Fraenkel
• Thoralf Skolem
• John von Neumann

Seminal works

• kunen2011
• jech2003
• enderton1977

Frequently asked questions

چرا فقط از نظریه مجموعه‌های ساده استفاده نمی‌کنیم؟

درک ساده، که اجازه می‌دهد مجموعه همه مجموعه‌هایی که هر ویژگی را برآورده می‌کنند، تشکیل شود، منجر به پارادوکس راسل می‌شود. ZFC درک نامحدود را با طرح‌واره‌های جداسازی و جایگزینی محدود جایگزین می‌کند، که از پارادوکس‌ها جلوگیری می‌کنند در حالی که به اندازه کافی برای ریاضیات قوی باقی می‌مانند.

آیا اصل انتخاب ضروری است؟

بسیاری از ریاضیات جریان اصلی، از جمله مبانی فضاهای برداری و بسیاری از نتایج در آنالیز و جبر، به آن متکی هستند. این اصل مستقل از سایر اصول موضوعه است، بنابراین می‌توان آن را به طور سازگار فرض کرد یا رد کرد، اما به طور معمول پذیرفته شده است.