قضایای ناتمامیت گودل
قضایای ناتمامیت گودل بیان میکنند که هر نظریه صوری سازگار که قادر به بیان حساب مقدماتی باشد، ناتمام است و نمیتواند سازگاری خود را اثبات کند، که این امر محدودیتهای اساسی را بر روش اصل موضوعی (آکسیوماتیک) اعمال میکند.
Definition
قضیه ناتمامیت اول بیان میکند که هر نظریه سازگار و به طور مؤثر اصل موضوعیشدهای که بخش کوچکی از حساب را تفسیر میکند، دارای گزارهای است که نه خود نظریه و نه نقیض آن را نمیتواند اثبات کند؛ قضیه دوم بیان میکند که چنین نظریهای نمیتواند یک گزاره صوری را که سازگاری خود را تأیید میکند، اثبات کند.
Scope
این موضوع شامل حسابیسازی نحو (آریتیمتیزاسیون سینتکس) و شمارهگذاری گودل، لم قطری و ساخت یک گزاره خودارجاع، قضیه ناتمامیت اول در مورد وجود گزارههای درست اثباتناپذیر، قضیه ناتمامیت دوم در مورد اثباتناپذیری سازگاری، و شرایط و پیامدهای استاندارد مانند قضیه تارسکی در مورد تعریفناپذیری حقیقت است.
Core questions
- نحو یک نظریه چگونه در خود حساب کدگذاری میشود؟
- لم قطری چگونه گزارهای را تولید میکند که اثباتناپذیری خود را تأیید میکند؟
- چرا یک نظریه سازگار و به اندازه کافی قوی باید ناتمام باشد؟
- چرا چنین نظریهای نمیتواند سازگاری خود را اثبات کند؟
Key theories
- لم قطری
- برای هر فرمول با یک متغیر آزاد، گزارهای وجود دارد که نظریه اثبات میکند معادل آن فرمول است که بر کد خود گزاره اعمال شده است، که این امر خودارجاعی کنترلشده را ممکن میسازد.
- قضیه ناتمامیت اول
- اعمال لم قطری بر محمول اثباتپذیری، گزارهای را به دست میدهد که دقیقاً زمانی درست است که اثباتناپذیر باشد، بنابراین یک نظریه حسابی سازگار و به طور مؤثر اصل موضوعیشده، دارای گزارهای است که نه میتواند آن را اثبات کند و نه رد کند.
- قضیه ناتمامیت دوم
- صوریسازی اثبات قضیه اول در خود نظریه نشان میدهد که نظریه تنها در صورتی سازگاری خود را اثبات میکند که ناسازگار باشد، بنابراین یک نظریه سازگار نمیتواند سازگاری خود را اثبات کند.
Clinical relevance
قضایای ناتمامیت با نشان دادن اینکه هیچ سیستم صوری سازگار واحدی نمیتواند به هر سؤال حسابی پاسخ دهد یا قابلیت اطمینان خود را تأیید کند، بنیانهای ریاضیات را دگرگون کردند. این قضایا برنامه هیلبرت را محدود کرده و انگیزهای برای معیارهای نظریه ترتیبی (ordinal-theoretic) قدرت نظری و مطالعه سازگاری نسبی فراهم میکنند.
History
گودل قضایای ناتمامیت را در سال ۱۹۳۰ اعلام کرد و در سال ۱۹۳۱ منتشر نمود، که این امر انتظارات مبنی بر اینکه حساب میتواند به طور کامل و خودتأییدکننده اصل موضوعی شود را بر هم زد. روسر در سال ۱۹۳۶ فرضیات را تقویت کرد، و قضیه همزمان تارسکی در مورد تعریفناپذیری حقیقت، نتیجهای محدودکننده و بسیار مرتبط را ارائه داد.
Key figures
- Kurt Goedel
- Alfred Tarski
- J. Barkley Rosser
- David Hilbert
Related topics
Seminal works
- smith2013
- godel1931
- boolos2007
Frequently asked questions
- آیا قضایای ناتمامیت میگویند ریاضیات ناسازگار است؟
- خیر. آنها میگویند که هر سیستم صوری واحد، سازگار و به اندازه کافی قوی، ناتمام است و نمیتواند سازگاری خود را تأیید کند. آنها هیچ شکی در مورد حقیقت ریاضیات ایجاد نمیکنند، بلکه فقط در مورد دامنه هر سیستم اصل موضوعی واحد.
- آیا ناتمامیت به این معنی است که برخی حقایق ناشناختنی هستند؟
- نه به معنای مطلق. گزارهای که در یک نظریه اثباتناپذیر است، ممکن است در نظریهای قویتر اثباتپذیر باشد، مثلاً با افزودن یک گزاره سازگاری یا یک اصل موضوعی قویتر. ناتمامیت محدودیتی برای هر سیستم ثابت است، نه مانعی برای دانش ریاضی به طور کلی.