Aproximación WKB
La aproximación WKB es un método semicclásico para resolver la ecuación de Schrödinger cuando el potencial varía lentamente; construye la función de onda a partir de una longitud de onda definida localmente y produce la condición de cuantificación de Bohr-Sommerfeld y estimaciones de tunelización exponenciales.
Definition
La aproximación WKB es una técnica semicclásica para aproximar soluciones de la ecuación de Schrödinger cuando el potencial cambia poco en una longitud de onda de Broglie, representando la función de onda como una exponencial de una fase que varía lentamente, cuyo término principal es la acción clásica.
Scope
El tema abarca la expansión semicclásica de la función de onda en potencias del cuanto de acción, la longitud de onda local y la amplitud en regiones clásicamente permitidas, el crecimiento y decaimiento exponencial en regiones prohibidas, las fórmulas de conexión que unen soluciones a través de puntos de inflexión, la condición de cuantificación de Bohr-Sommerfeld para estados ligados, y la estimación exponencial WKB para probabilidades de tunelización.
Core questions
- ¿Cuándo un potencial varía lo suficientemente lento para que la aproximación WKB sea válida?
- ¿Cómo se comporta la función de onda en regiones clásicamente permitidas versus prohibidas?
- ¿Qué fórmulas de conexión unen las soluciones a través de los puntos de inflexión clásicos?
- ¿Cómo reproduce WKB la condición de cuantificación de Bohr-Sommerfeld y las tasas de tunelización?
Key concepts
- expansión semicclásica
- longitud de onda local
- puntos de inflexión
- fórmulas de conexión
- cuantificación de Bohr-Sommerfeld
- exponente de tunelización
Key theories
- Función de onda semicclásica
- En un potencial que varía lentamente, la función de onda oscila con una longitud de onda local establecida por el momento clásico y una amplitud que crece donde la partícula se mueve lentamente, mientras que en regiones prohibidas crece o decae exponencialmente, la forma subyacente tanto a la cuantificación como a la tunelización.
- Cuantificación de Bohr-Sommerfeld
- Requerir que la fase WKB acumulada entre los puntos de inflexión sea un múltiplo semientero del cuanto de acción reproduce la antigua condición de cuantificación de Bohr-Sommerfeld, proporcionando niveles de energía precisos para potenciales suaves y números cuánticos grandes.
Clinical relevance
El método WKB proporciona estimaciones rápidas y físicamente transparentes en diversas áreas de la física: ofrece las vidas medias de desintegración alfa nuclear a través de su exponente de tunelización, las corrientes de emisión de campo y de microscopía de efecto túnel, los niveles vibracionales de las moléculas y la cuantificación semicclásica que une las descripciones clásica y cuántica.
History
Wentzel, Kramers y Brillouin introdujeron la aproximación en 1926, basándose en un tratamiento matemático anterior de Jeffreys; conectó la nueva mecánica ondulatoria con la antigua cuantificación de Bohr-Sommerfeld y fue aplicada pronto por Gamow a la tunelización en la desintegración alfa.
Key figures
- Gregor Wentzel
- Hendrik Kramers
- Leon Brillouin
- Harold Jeffreys
Related topics
Seminal works
- landau1977
- griffiths2018
Frequently asked questions
- ¿Cuándo es precisa la aproximación WKB?
- Es precisa cuando el potencial cambia poco en una longitud de onda de Broglie, lo que generalmente significa energías altas o números cuánticos grandes; se vuelve poco fiable cerca de los puntos de inflexión clásicos, donde deben usarse fórmulas de conexión para unir las soluciones.
- ¿Cómo describe WKB la tunelización?
- En la región clásicamente prohibida, la función de onda WKB decae exponencialmente, y la probabilidad de tunelización es aproximadamente la exponencial de menos el doble de la integral de la tasa de decaimiento a través de la barrera, la estimación semicclásica estándar utilizada para las tasas de decaimiento y emisión.