Teoría de Perturbaciones y Métodos de Aproximación
La mayoría de los problemas cuánticos no pueden resolverse exactamente, por lo que los métodos de aproximación son esenciales; la teoría de perturbaciones trata un sistema como uno resoluble más una pequeña corrección, mientras que los métodos variacional y WKB acotan o estiman energías y funciones de onda en otros regímenes.
Definition
Los métodos de aproximación en mecánica cuántica son técnicas sistemáticas para estimar energías, estados y tasas de transición cuando la ecuación de Schrödinger no puede resolverse exactamente, siendo los principales la teoría de perturbaciones, el método variacional y la aproximación semiclasica WKB.
Scope
El área abarca la teoría de perturbaciones independiente del tiempo para correcciones de energía y estado, incluyendo casos degenerados, la teoría de perturbaciones dependiente del tiempo y la regla de oro de Fermi para las tasas de transición, el principio variacional que acota las energías del estado fundamental desde arriba, y la aproximación semiclasica WKB para potenciales que varían lentamente y el efecto túnel.
Sub-topics
Core questions
- ¿Cómo se corrigen los niveles de energía y los estados cuando se añade una pequeña perturbación?
- ¿Cómo se calculan las tasas de transición entre estados bajo una influencia dependiente del tiempo?
- ¿Cómo se puede acotar la energía del estado fundamental sin resolver la ecuación exactamente?
- ¿Cuándo una aproximación semiclasica da resultados precisos?
Key concepts
- expansión de perturbación
- teoría de perturbaciones degeneradas
- regla de oro de Fermi
- principio variacional
- función de onda de prueba
- aproximación WKB
Key theories
- Teoría de perturbaciones
- Expandir las energías y los estados en potencias de una pequeña perturbación proporciona correcciones orden por orden, siendo el desplazamiento de energía principal igual a la expectativa de la perturbación, y su forma dependiente del tiempo produce la regla de oro de Fermi para las tasas de transición entre estados.
- Métodos variacional y WKB
- El principio variacional garantiza que la expectativa del hamiltoniano en cualquier estado de prueba es una cota superior para la energía del estado fundamental, mientras que la aproximación WKB construye funciones de onda a partir de una longitud de onda local que varía lentamente, siendo precisa cuando el potencial cambia poco en una longitud de onda.
Clinical relevance
Estos métodos hacen que la mecánica cuántica sea aplicable a sistemas reales: la teoría de perturbaciones predice los desdoblamientos de Stark y Zeeman y las tasas de transición atómica, el método variacional proporciona energías precisas del estado fundamental en química cuántica, y WKB explica las tasas de tunelización y las condiciones de cuantificación en la física atómica, nuclear y del estado sólido.
History
Rayleigh y Schrödinger desarrollaron la teoría de perturbaciones independiente del tiempo en la década de 1920; Dirac formuló la teoría de perturbaciones dependiente del tiempo y Fermi popularizó la regla de oro para las tasas de transición, mientras que el método WKB fue introducido independientemente por Wentzel, Kramers y Brillouin en 1926.
Key figures
- Erwin Schrodinger
- Paul Dirac
- Enrico Fermi
- Lord Rayleigh
Related topics
Seminal works
- sakurai2017
- landau1977
Frequently asked questions
- ¿Cuándo falla la teoría de perturbaciones?
- Falla cuando la perturbación no es pequeña en comparación con el espaciado de energía, cuando los niveles son casi degenerados y los denominadores se disparan, o cuando la serie no converge; en tales casos, se necesitan métodos variacionales, semiclasicos o numéricos.
- ¿Por qué el método variacional siempre sobreestima la energía del estado fundamental?
- Cualquier estado de prueba es una mezcla de los verdaderos autoestados, y dado que todas las energías de los estados excitados se encuentran por encima del estado fundamental, la expectativa del hamiltoniano es un promedio ponderado que nunca puede caer por debajo del valor propio más bajo.