Anillo de Polinomios

Un anillo de polinomios es el anillo de polinomios en una o más indeterminadas con coeficientes en un anillo base, el álgebra conmutativa libre que modela la adición de incógnitas a un anillo.

Definition

Dado un anillo conmutativo R, el anillo de polinomios R[x] consiste en sumas formales finitas de potencias de una indeterminada x con coeficientes en R, con la suma y multiplicación usuales; la iteración da anillos de polinomios en varias variables.

Scope

Este tema abarca la construcción de anillos de polinomios en una y varias variables, el algoritmo de división sobre un cuerpo, la factorización y los criterios de irreducibilidad como el lema de Gauss y el criterio de Eisenstein, y la transferencia de propiedades (factorización única, la condición noetheriana) del anillo base al anillo de polinomios.

Core questions

• ¿Cómo se construye el anillo de polinomios y qué propiedad universal satisface?
• ¿Cuándo se pueden dividir los polinomios y cómo esto convierte al anillo de polinomios de un cuerpo en euclidiano?
• ¿Cómo se detecta la irreducibilidad de un polinomio?
• ¿Qué propiedades del anillo base son heredadas por el anillo de polinomios?

Key theories

Algoritmo de división y la propiedad universal

Sobre un cuerpo, los polinomios admiten división con resto, lo que convierte al anillo de polinomios en una variable en un dominio euclidiano; más generalmente, R[x] es el R-álgebra conmutativa libre sobre un generador, universal para enviar x a cualquier elemento de un R-álgebra.

Lema de Gauss

Si R es un dominio de factorización única, también lo es R[x], y un polinomio primitivo que factoriza sobre el cuerpo de fracciones ya factoriza sobre R, reduciendo las cuestiones de irreducibilidad al cuerpo base.

Criterio de Eisenstein

Un polinomio de tipo mónico cuyos coeficientes no principales son divisibles por un primo, con el término constante no divisible por su cuadrado, es irreducible, proporcionando una prueba suficiente rápida para la irreducibilidad.

Clinical relevance

Los anillos de polinomios son el escenario algebraico para la resolución de ecuaciones y para la geometría algebraica, donde los cocientes de anillos de polinomios son anillos de coordenadas de variedades. Son fundamentales en el álgebra computacional (bases de Grobner), la teoría de códigos y la construcción de extensiones de cuerpos y cuerpos finitos.

History

La manipulación formal de polinomios es anterior al álgebra abstracta, pero el trabajo de Gauss sobre la ciclotomía y los polinomios enteros, y el criterio de irreducibilidad de Eisenstein, dieron forma a la teoría moderna. El teorema de la base de Hilbert reveló entonces que los anillos de polinomios sobre cuerpos tienen ideales finitamente generados, fundando la geometría algebraica.

Key figures

• Carl Friedrich Gauss
• Ferdinand Eisenstein
• David Hilbert
• Leopold Kronecker

Seminal works

• dummit2004
• lang2002
• atiyah1969

Frequently asked questions

¿Por qué el anillo de polinomios sobre un cuerpo se comporta tan bien?

Sobre un cuerpo, el algoritmo de división se cumple, por lo que el anillo de polinomios de una variable es un dominio euclidiano y, por lo tanto, un dominio de ideales principales y de factorización única. Esto hace que su aritmética sea muy similar a la de los números enteros.

¿Cuál es la propiedad universal de un anillo de polinomios?

El mapeo de la indeterminada a cualquier elemento de un R-álgebra se extiende de forma única a un homomorfismo de anillo desde R[x]. Esta libertad es lo que permite que los anillos de polinomios modelen la adición de una incógnita genérica, la base de la evaluación y la sustitución.