Dominio Integral
Un dominio integral es un anillo conmutativo con identidad y sin divisores de cero, el entorno abstracto en el que se cumplen la familiar ley de cancelación y la noción de factorización.
Definition
Un dominio integral es un anillo conmutativo con identidad multiplicativa en el que el producto de dos elementos no nulos cualesquiera es no nulo, o equivalentemente, un anillo sin divisores de cero.
Scope
Este tema cubre la definición y propiedades básicas de los dominios integrales, el campo de fracciones, la jerarquía de campos, los dominios euclidianos, los dominios de ideales principales y los dominios de factorización única, así como las nociones de elementos irreducibles y primos.
Core questions
- ¿Qué garantiza la ausencia de divisores de cero sobre la cancelación y la factorización?
- ¿Cómo se incrusta un dominio integral en su campo de fracciones?
- ¿Cómo se relacionan los dominios euclidianos, de ideales principales y de factorización única?
- ¿Cuál es la diferencia entre elementos irreducibles y primos?
Key theories
- Campo de fracciones
- Todo dominio integral se incrusta en un campo mínimo, su campo de fracciones, construido a partir de clases de equivalencia de fracciones, generalizando el paso de los números enteros a los racionales.
- Jerarquía de dominios
- Los campos, los dominios euclidianos, los dominios de ideales principales y los dominios de factorización única forman una cadena estrictamente descendente de propiedades entre los dominios integrales, organizando la forma en que se comporta la factorización.
- Elementos primos versus irreducibles
- En cualquier dominio integral, los elementos primos son irreducibles, y las dos nociones coinciden exactamente en los dominios de factorización única, donde la factorización en irreducibles es esencialmente única.
Clinical relevance
Los dominios integrales son los anillos en los que la aritmética se comporta como la de los números enteros: son el hogar natural de la teoría de la factorización, los anillos de enteros en la teoría de números son dominios, y los anillos de coordenadas de variedades algebraicas irreducibles son dominios integrales, lo que vincula el concepto con la geometría.
History
El concepto abstrae la aritmética de los números enteros y de los anillos de enteros algebraicos estudiados por Dedekind y Kronecker. La comparación sistemática de los dominios euclidianos, de ideales principales y de factorización única surgió con la teoría estructural de anillos de principios del siglo XX.
Key figures
- Richard Dedekind
- Leopold Kronecker
- Emmy Noether
Related topics
Seminal works
- dummit2004
- lang2002
- hungerford1974
Frequently asked questions
- ¿Por qué es importante descartar los divisores de cero?
- Sin divisores de cero, se cumple la ley de cancelación: si un producto es igual a cero, entonces uno de los factores debe ser cero. Esto es exactamente lo que se necesita para una teoría de factorización bien comportada y para incrustar el anillo en un campo de fracciones.
- ¿Son lo mismo los elementos primos y los irreducibles?
- No en general. Los primos son siempre irreducibles en un dominio, pero los irreducibles no tienen por qué ser primos; el fallo es lo que hace que la factorización no sea única. Los dos coinciden precisamente en los dominios de factorización única.