Anillo noetheriano

Un anillo noetheriano es aquel en el que cada ideal es finitamente generado, o equivalentemente, cuyos ideales satisfacen la condición de cadena ascendente, una hipótesis de finitud que hace que la teoría de ideales sea manejable.

Definition

Un anillo conmutativo es noetheriano si toda cadena ascendente de ideales se estabiliza, equivalentemente si todo ideal es finitamente generado, o equivalentemente si toda colección no vacía de ideales tiene un elemento maximal.

Scope

Este tema cubre las formulaciones equivalentes de la condición noetheriana, el teorema de la base de Hilbert, los módulos noetherianos, la persistencia de la propiedad bajo cocientes, localización y generación finita, y su papel como hipótesis fundamental del álgebra conmutativa y la geometría algebraica.

Core questions

• ¿Qué condiciones equivalentes definen un anillo noetheriano?
• ¿Por qué el teorema de la base de Hilbert mantiene los anillos de polinomios como noetherianos?
• ¿Cómo se transmite la propiedad noetheriana a los cocientes, las localizaciones y las álgebras finitamente generadas?
• ¿Por qué la hipótesis noetheriana es casi omnipresente en el álgebra conmutativa?

Key theories

Formulaciones equivalentes

La condición de cadena ascendente en los ideales, la generación finita de cada ideal y la condición de elemento maximal en las familias de ideales son equivalentes, lo que proporciona varias definiciones intercambiables de un anillo noetheriano.

Teorema de la base de Hilbert

Si un anillo es noetheriano, también lo es el anillo de polinomios sobre él en un número finito de variables, por lo que las álgebras finitamente generadas sobre cuerpos y sobre los enteros son noetherianas.

Estabilidad de la propiedad

Los cocientes y las localizaciones de anillos noetherianos son noetherianos, y los módulos finitamente generados sobre un anillo noetheriano son noetherianos, por lo que la clase está cerrada bajo las construcciones estándar del álgebra conmutativa.

Clinical relevance

La condición noetheriana es la hipótesis de finitud subyacente a casi toda el álgebra conmutativa y la geometría algebraica: garantiza que existe la descomposición primaria, que las variedades están definidas por un número finito de ecuaciones y que las construcciones clave terminan, por lo que los anillos que surgen en geometría y teoría de números son casi siempre noetherianos.

History

David Hilbert demostró su teorema de la base en 1890 en el contexto de la teoría de invariantes, pero la condición abstracta de cadena ascendente y la teoría sistemática de los anillos noetherianos se deben a Emmy Noether en la década de 1920, de quien toma su nombre el concepto.

Key figures

• Emmy Noether
• David Hilbert
• Emanuel Lasker

Seminal works

• atiyah1969
• eisenbud1995
• matsumura1989

Frequently asked questions

¿Por qué la generación finita de ideales es una hipótesis tan útil?

Asegura que los ideales, y por lo tanto los conjuntos algebraicos que definen, se describen mediante una cantidad finita de datos, que las cadenas ascendentes de ideales no pueden continuar indefinidamente y que los argumentos inductivos terminan. Estas son exactamente las condiciones necesarias para la descomposición primaria y la teoría de la dimensión.

¿La mayoría de los anillos encontrados en la práctica son noetherianos?

Sí. Los cuerpos, los dominios de ideales principales, los anillos de enteros y cualquier álgebra finitamente generada sobre ellos son noetherianos según el teorema de la base de Hilbert. Existen anillos no noetherianos, pero son comparativamente exóticos en geometría y teoría de números.