Extensión de Campo

Una extensión de campo es un campo que contiene un campo más pequeño como subcampo, el objeto básico de la teoría de campos cuyo tamaño se mide por su grado como espacio vectorial.

Definition

Una extensión de campo es un par que consiste en un campo y un subcampo; equivalentemente, el campo más grande se considera un espacio vectorial sobre el más pequeño, y la dimensión de ese espacio vectorial es el grado de la extensión.

Scope

Este tema abarca el grado de una extensión, elementos algebraicos versus trascendentales, extensiones simples y polinomios mínimos, la ley de la torre para grados, extensiones finitamente generadas y algebraicas, y la aplicación a la constructibilidad clásica con regla y compás.

Core questions

• ¿Cómo se mide el tamaño de una extensión de campo?
• ¿Cuándo un elemento es algebraico sobre el campo base y cuál es su polinomio mínimo?
• ¿Cómo se multiplican los grados a través de una torre de extensiones?
• ¿Cómo resuelve la teoría de campos los problemas clásicos de construcción?

Key theories

Grado y la ley de la torre

El grado de una extensión es su dimensión como espacio vectorial sobre el campo base, y en una torre de extensiones los grados se multiplican, lo que convierte al grado en un invariante fundamental aditivo en el exponente.

Polinomio mínimo de un elemento algebraico

Un elemento algebraico sobre un campo es la raíz de un polinomio mónico irreducible único, el polinomio mínimo, cuyo grado es igual al grado de la extensión simple que genera.

Constructibilidad

Una longitud es constructible con regla y compás solo si se encuentra en una torre de extensiones de grado dos, por lo que el grado de la extensión que genera debe ser una potencia de dos, lo que resuelve la imposibilidad de duplicar el cubo y trisecar un ángulo general.

Clinical relevance

Las extensiones de campo constituyen el marco para estudiar las raíces de los polinomios y para construir nuevos sistemas numéricos, incluidos los números complejos, los campos de números algebraicos y los campos finitos. Convierten los problemas clásicos de construcción griegos en cálculos de grado y son la base de la teoría de Galois.

History

Kronecker demostró cómo adjuntar una raíz de un polinomio a un campo mediante el cociente de un anillo de polinomios, lo que proporcionó a las extensiones una construcción algebraica. La memoria de Steinitz de 1910 construyó la teoría abstracta de los campos y sus extensiones, y Wantzel había utilizado previamente argumentos de grado para probar la imposibilidad de varias construcciones clásicas.

Key figures

• Leopold Kronecker
• Ernst Steinitz
• Évariste Galois
• Pierre Wantzel

Seminal works

• dummit2004
• lang2002
• artin2011

Frequently asked questions

¿Qué mide el grado de una extensión de campo?

Es la dimensión del campo más grande como espacio vectorial sobre el más pequeño. Una extensión de grado dos se obtiene adjuntando una raíz cuadrada, por ejemplo, y los grados se multiplican cuando las extensiones se apilan en una torre.

¿Cómo resuelve esto la trisección del ángulo?

Los puntos constructibles generan extensiones de grado una potencia de dos. Trisecar un ángulo general requeriría resolver una cúbica irreducible, lo que daría una extensión de grado tres, que no es una potencia de dos, por lo que es imposible con regla y compás.