Campo de escisión

Un campo de escisión de un polinomio es la extensión de campo más pequeña sobre la cual el polinomio se factoriza completamente en factores lineales, el ámbito natural en el que residen todas sus raíces.

Definition

Un campo de escisión de un polinomio sobre un campo es una extensión generada por todas las raíces del polinomio en la que este se factoriza en factores lineales, y que es mínima con esa propiedad.

Scope

Este tema abarca la construcción y existencia de campos de escisión, su unicidad salvo isomorfismo, las extensiones normales, la conexión con las clausuras algebraicas y el papel de los campos de escisión como las extensiones de Galois en las que se estudian las raíces y simetrías de un polinomio.

Core questions

• ¿Por qué todo polinomio tiene un campo en el que se escinde completamente?
• ¿Es único el campo de escisión de un polinomio?
• ¿Cómo se relacionan los campos de escisión con las extensiones normales y las clausuras algebraicas?
• ¿Por qué los campos de escisión son el entorno adecuado para la teoría de Galois?

Key theories

Existencia y unicidad de los campos de escisión

Todo polinomio sobre un campo tiene un campo de escisión, obtenido adjuntando sucesivamente raíces, y cualesquiera dos campos de escisión del mismo polinomio son isomorfos mediante un isomorfismo que fija el campo base.

Campos de escisión y normalidad

Una extensión finita es normal exactamente cuando es el campo de escisión de algún polinomio, equivalentemente cuando contiene todos los conjugados de cada uno de sus elementos, lo cual es una de las condiciones que definen una extensión de Galois.

Clausura algebraica como campo de escisión universal

Una clausura algebraica de un campo es una extensión en la que todo polinomio se escinde, y es la unión de los campos de escisión de todos los polinomios, existiendo y siendo única salvo isomorfismo para cada campo.

Clinical relevance

Los campos de escisión proporcionan las extensiones concretas sobre las que actúan los grupos de Galois, lo que los convierte en la base para calcular grupos de Galois y para estudiar la solubilidad de ecuaciones. La misma construcción produce clausuras algebraicas y se utiliza para construir campos finitos de cada orden de potencia prima.

History

El método de Kronecker de adjuntar raíces mediante el cociente de anillos de polinomios permite la construcción de campos de escisión, y Steinitz demostró la existencia y unicidad de las clausuras algebraicas en su teoría de campos abstractos de 1910. Estos resultados dieron una base rigurosa al uso implícito de Galois de los campos de raíces.

Key figures

• Leopold Kronecker
• Ernst Steinitz
• Évariste Galois

Seminal works

• dummit2004
• lang2002
• hungerford1974

Frequently asked questions

¿Cómo se construye un campo de escisión?

Se adjunta una raíz de un factor irreducible haciendo el cociente del anillo de polinomios por ese factor, luego se repite sobre el campo más grande hasta que el polinomio se factoriza en piezas lineales. El campo mínimo resultante es el campo de escisión.

¿Por qué son importantes los campos de escisión para la teoría de Galois?

Un campo de escisión es exactamente una extensión normal, y cuando es separable, es una extensión de Galois. Su grupo de Galois permuta las raíces del polinomio, por lo que el campo de escisión es donde tiene lugar el análisis de simetría de la ecuación.