Cuerpos Numéricos y Anillos de Enteros
Un cuerpo numérico es una extensión finita de los números racionales, y su anillo de enteros es el análogo aritmético natural de los enteros ordinarios — un dominio de Dedekind en el que los ideales, no los elementos, factorizan de manera única.
Definition
Un cuerpo numérico es una extensión de cuerpo de grado finito de los números racionales; su anillo de enteros consiste en los elementos que son raíces de polinomios mónicos con coeficientes enteros, formando un dominio de Dedekind.
Scope
Este tema cubre los números algebraicos y los enteros algebraicos, los cuerpos numéricos y su grado e incrustaciones, el anillo de enteros como la clausura integral de los enteros en el cuerpo, las bases integrales y el discriminante del cuerpo, la caracterización de los anillos de enteros como dominios de Dedekind, y la factorización única de ideales no nulos en ideales primos.
Core questions
- ¿Qué elementos de un cuerpo numérico se consideran enteros y por qué forman un anillo?
- ¿Qué es una base integral y cómo se define y calcula el discriminante de un cuerpo numérico?
- ¿Qué propiedades hacen del anillo de enteros un dominio de Dedekind?
- ¿Cómo reemplaza la factorización única de ideales a la factorización única de elementos?
Key theories
- Anillo de enteros y clausura integral
- Los enteros algebraicos en un cuerpo numérico forman su anillo de enteros, la clausura integral de los enteros en el cuerpo; es un módulo libre de rango igual al grado del cuerpo, con una base integral.
- Dominios de Dedekind y factorización de ideales
- Los anillos de enteros son noetherianos, integralmente cerrados, de dimensión uno — es decir, dominios de Dedekind — y en cualquier dominio de Dedekind todo ideal no nulo factoriza de manera única en ideales primos.
- Discriminante
- El discriminante de una base integral es un invariante entero del cuerpo que detecta primos ramificados y restringe el cuerpo a través de la cota de Minkowski y el teorema de finitud de Hermite.
Clinical relevance
Los anillos de enteros y su estructura ideal son el escenario para el algoritmo de factorización de la criba de cuerpos numéricos y para la criptografía de retículos ideales, donde la aritmética de un anillo de enteros es la fuente tanto de problemas difíciles como de operaciones eficientes.
History
Kummer trabajó con enteros ciclotómicos y números ideales en la década de 1840. Dedekind, en suplementos a las conferencias de Dirichlet de la década de 1870, definió el anillo de enteros y la noción moderna de ideal, demostrando la factorización única de ideales y fundando la teoría abstracta.
Key figures
- Richard Dedekind
- Leopold Kronecker
- Ernst Kummer
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Seminal works
- marcus2018
Frequently asked questions
- ¿Es el anillo de enteros siempre un dominio de factorización única?
- No. Los elementos no necesariamente factorizan de manera única, pero el anillo es siempre un dominio de Dedekind, por lo que los ideales sí lo hacen; el anillo es un dominio de factorización única exactamente cuando su número de clase es uno.
- ¿Qué indica el discriminante?
- El discriminante del cuerpo es un invariante entero cuyos divisores primos son exactamente los primos que se ramifican en el cuerpo, y su tamaño limita la complejidad que puede tener el cuerpo.