Polynomring

Ein Polynomring ist der Ring von Polynomen in einer oder mehreren Unbestimmten mit Koeffizienten in einem Grundring, die freie kommutative Algebra, die das Hinzufügen von Unbekannten zu einem Ring modelliert.

Definition

Gegeben sei ein kommutativer Ring R. Der Polynomring R[x] besteht aus endlichen formalen Summen von Potenzen einer Unbestimmten x mit Koeffizienten in R, mit der üblichen Addition und Multiplikation; iteratives Anwenden ergibt Polynomringe in mehreren Variablen.

Scope

Dieses Thema behandelt die Konstruktion von Polynomringen in einer und mehreren Variablen, den Divisionsalgorithmus über einem Körper, Faktorisierung und Irreduzibilitätskriterien wie das Gaußsche Lemma und das Eisenstein-Kriterium sowie die Übertragung von Eigenschaften (eindeutige Faktorisierung, die Noethersche Bedingung) vom Grundring auf den Polynomring.

Core questions

• Wie wird der Polynomring konstruiert und welche universelle Eigenschaft erfüllt er?
• Wann können Polynome dividiert werden, und wie macht dies den Polynomring eines Körpers euklidisch?
• Wie wird die Irreduzibilität eines Polynoms festgestellt?
• Welche Eigenschaften des Grundrings werden vom Polynomring geerbt?

Key theories

Divisionsalgorithmus und die universelle Eigenschaft

Über einem Körper erlauben Polynome die Division mit Rest, wodurch der Polynomring in einer Variablen zu einem euklidischen Ring wird; allgemeiner ist R[x] die freie kommutative R-Algebra über einem Erzeuger, universell dafür, x auf jedes Element einer R-Algebra abzubilden.

Gaußsches Lemma

Wenn R ein faktorieller Ring ist, dann ist es auch R[x], und ein primitives Polynom, das über dem Quotientenkörper faktorisiert, faktorisiert bereits über R, wodurch Irreduzibilitätsfragen auf den Grundkörper reduziert werden.

Eisenstein-Kriterium

Ein Polynom vom monischen Typ, dessen nicht-führende Koeffizienten durch eine Primzahl teilbar sind, wobei der konstante Term nicht durch deren Quadrat teilbar ist, ist irreduzibel, was einen schnellen hinreichenden Test für Irreduzibilität liefert.

Clinical relevance

Polynomringe sind die algebraische Grundlage für das Lösen von Gleichungen und für die algebraische Geometrie, wo Quotienten von Polynomringen Koordinatenringe von Varietäten sind. Sie sind zentral in der Computeralgebra (Gröbner-Basen), der Codierungstheorie und der Konstruktion von Körpererweiterungen und endlichen Körpern.

History

Die formale Manipulation von Polynomen geht der abstrakten Algebra voraus, aber Gauß' Arbeit über Kreisteilung und ganzzahlige Polynome sowie Eisensteins Irreduzibilitätskriterium prägten die moderne Theorie. Hilberts Basissatz zeigte dann, dass Polynomringe über Körpern endlich erzeugte Ideale haben, was die algebraische Geometrie begründete.

Key figures

• Carl Friedrich Gauss
• Ferdinand Eisenstein
• David Hilbert
• Leopold Kronecker

Seminal works

• dummit2004
• lang2002
• atiyah1969

Frequently asked questions

Warum verhält sich der Polynomring über einem Körper so gut?

Über einem Körper gilt der Divisionsalgorithmus, sodass der Polynomring in einer Variablen ein euklidischer Ring und somit ein Hauptidealring und faktorieller Ring ist. Dies macht seine Arithmetik der der ganzen Zahlen sehr ähnlich.

Was ist die universelle Eigenschaft eines Polynomrings?

Die Abbildung der Unbestimmten auf ein beliebiges Element einer R-Algebra erweitert sich eindeutig zu einem Ringhomomorphismus von R[x]. Diese Freiheit ermöglicht es Polynomringen, das Hinzufügen einer generischen Unbekannten zu modellieren, die Grundlage von Auswertung und Substitution.