Ideal

Ein Ideal ist eine spezielle Untermenge eines Rings, die unter Addition abgeschlossen und unter Multiplikation absorbierend ist und als Kern eines Homomorphismus sowie als Objekt dient, mittels dessen man Quotientenringe bildet.

Definition

Ein Ideal eines Rings R ist eine additive Untergruppe, die die Multiplikation mit Elementen von R absorbiert; in einem kommutativen Ring ist eine Untermenge I ein Ideal, wenn sie unter Addition abgeschlossen ist und ri für jedes r in R und i in I in I liegt.

Scope

Dieses Thema behandelt linke, rechte und zweiseitige Ideale; Haupt-, maximale und Primideale; Operationen auf Idealen wie Summen, Produkte und Schnitte; Quotientenringe und den Korrespondenzsatz; sowie die Charakterisierung von Körpern und Integritätsbereichen durch ihre maximalen und Primideale.

Core questions

• Wie verhalten sich Ideale zu den Kernen von Ringhomomorphismen?
• Was unterscheidet Prim- und maximale Ideale, und wie sehen ihre Quotienten aus?
• Wie werden neue Ideale aus alten durch Summen, Produkte und Schnitte gebildet?
• Wie spiegelt das Idealverband die Struktur des Rings wider?

Key theories

Ideale als Kerne

Eine Untermenge eines Rings ist genau dann der Kern eines Ringhomomorphismus, wenn sie ein Ideal ist, und die Quotientenbildung durch ein Ideal liefert den universellen Homomorphismus, der es annulliert, was normalen Untergruppen in der Gruppentheorie entspricht.

Prim- und maximale Ideale

In einem kommutativen Ring mit Einselement ist ein Ideal genau dann prim, wenn sein Quotient ein Integritätsbereich ist, und genau dann maximal, wenn sein Quotient ein Körper ist, sodass maximale Ideale prim sind.

Verbandskorrespondenz

Die Ideale eines Quotientenrings entsprechen bijektiv den Idealen des ursprünglichen Rings, die das gewählte Ideal enthalten, wodurch strukturelle Fragen zwischen einem Ring und seinen Quotienten übertragen werden können.

Clinical relevance

Ideale sind das zentrale Organisationskonzept der Ringtheorie: Primideale sind die Punkte der Spektren der algebraischen Geometrie, Ideale kodieren Systeme polynomialer Gleichungen, und Quotientenkonstruktionen mittels Idealen bilden neue Ringe wie endliche Körper und Koordinatenringe von Varietäten.

History

Das Wort Ideal stammt von Kummers idealen Zahlen, die erfunden wurden, um die eindeutige Faktorisierung in der algebraischen Zahlentheorie wiederherzustellen; Dedekind reformulierte sie als Mengen, die modernen Ideale. Emmy Noethers Kettenbedingungen für Ideale machten sie später zum Rückgrat der abstrakten Ringtheorie.

Key figures

• Richard Dedekind
• Ernst Kummer
• Emmy Noether
• David Hilbert

Seminal works

• dummit2004
• atiyah1969
• hungerford1974

Frequently asked questions

Warum kann man einen Ring durch ein Ideal, aber nicht durch einen beliebigen Unterring quotieren?

Die Multiplikation auf einem Quotienten ist nur dann wohldefiniert, wenn die Untermenge die Multiplikation mit allen Ringelementen absorbiert, was genau die Idealbedingung ist. Ein Unterring, der nur unter den Ringoperationen abgeschlossen ist, ergibt im Allgemeinen keinen wohldefinierten Quotientenring.

Wie unterscheiden sich Prim- und maximale Ideale?

Ein Ideal ist prim, wenn sein Quotient ein Integritätsbereich ist, und maximal, wenn sein Quotient ein Körper ist. Da jeder Körper ein Integritätsbereich ist, sind maximale Ideale immer prim, aber nicht umgekehrt; der Unterschied spiegelt die Dimension des Rings wider.