Integritätsbereich

Ein Integritätsbereich ist ein kommutativer Ring mit Einselement und ohne Nullteiler, die abstrakte Umgebung, in der das bekannte Kürzungsgesetz und der Begriff der Faktorisierung gelten.

Definition

Ein Integritätsbereich ist ein kommutativer Ring mit multiplikativem Einselement, in dem das Produkt zweier beliebiger von Null verschiedener Elemente ungleich Null ist, äquivalent ein Ring ohne Nullteiler.

Scope

Dieses Thema behandelt die Definition und grundlegenden Eigenschaften von Integritätsbereichen, den Quotientenkörper, die Hierarchie der Körper, Euklidische Ringe, Hauptidealringe und faktoriellen Ringe sowie die Begriffe irreduzibler und primer Elemente.

Core questions

• Was garantiert die Abwesenheit von Nullteilern bezüglich Kürzung und Faktorisierung?
• Wie wird ein Integritätsbereich in seinen Quotientenkörper eingebettet?
• Wie hängen Euklidische Ringe, Hauptidealringe und faktorielle Ringe zusammen?
• Was ist der Unterschied zwischen irreduziblen und primen Elementen?

Key theories

Quotientenkörper

Jeder Integritätsbereich lässt sich in einen kleinsten Körper, seinen Quotientenkörper, einbetten, der aus Äquivalenzklassen von Brüchen konstruiert wird und den Übergang von den ganzen Zahlen zu den rationalen Zahlen verallgemeinert.

Hierarchie der Integritätsbereiche

Körper, Euklidische Ringe, Hauptidealringe und faktorielle Ringe bilden eine streng absteigende Kette von Eigenschaften unter den Integritätsbereichen, die die Güte der Faktorisierung organisiert.

Prime versus irreduzible Elemente

In jedem Integritätsbereich sind prime Elemente irreduzibel, und die beiden Begriffe fallen genau in faktoriellen Ringen zusammen, wo die Faktorisierung in irreduzible Elemente im Wesentlichen eindeutig ist.

Clinical relevance

Integritätsbereiche sind die Ringe, in denen sich die Arithmetik wie die der ganzen Zahlen verhält: Sie sind die natürliche Heimat der Faktorisierungstheorie, die Ringe der ganzen Zahlen in der Zahlentheorie sind Integritätsbereiche, und die Koordinatenringe irreduzibler algebraischer Varietäten sind Integritätsbereiche, was das Konzept mit der Geometrie verbindet.

History

Das Konzept abstrahiert die Arithmetik der ganzen Zahlen und der Ringe algebraischer ganzer Zahlen, die von Dedekind und Kronecker untersucht wurden. Der systematische Vergleich von Euklidischen Ringen, Hauptidealringen und faktoriellen Ringen entstand mit der strukturellen Ringtheorie des frühen zwanzigsten Jahrhunderts.

Key figures

• Richard Dedekind
• Leopold Kronecker
• Emmy Noether

Seminal works

• dummit2004
• lang2002
• hungerford1974

Frequently asked questions

Warum ist es wichtig, Nullteiler auszuschließen?

Ohne Nullteiler gilt das Kürzungsgesetz: Wenn ein Produkt gleich Null ist, muss ein Faktor Null sein. Dies ist genau das, was für eine wohlgeordnete Faktorisierungstheorie und für die Einbettung des Rings in einen Quotientenkörper erforderlich ist.

Sind prime und irreduzible Elemente dasselbe?

Im Allgemeinen nicht. Prime Elemente sind in einem Integritätsbereich immer irreduzibel, aber irreduzible Elemente müssen nicht prim sein; das Scheitern macht die Faktorisierung nicht eindeutig. Die beiden fallen genau in faktoriellen Ringen zusammen.