Noetherscher Ring

Ein Noetherscher Ring ist ein Ring, in dem jedes Ideal endlich erzeugt ist, oder äquivalent, dessen Ideale die aufsteigende Kettenbedingung erfüllen, eine Endlichkeitshypothese, die die Idealtheorie handhabbar macht.

Definition

Ein kommutativer Ring ist Noethersch, wenn jede aufsteigende Kette von Idealen stabilisiert, äquivalent, wenn jedes Ideal endlich erzeugt ist, äquivalent, wenn jede nichtleere Sammlung von Idealen ein maximales Element besitzt.

Scope

Dieses Thema behandelt die äquivalenten Formulierungen der Noether-Bedingung, den Hilbertschen Basissatz, Noethersche Moduln, die Persistenz der Eigenschaft unter Quotienten, Lokalisierung und endlicher Erzeugung sowie ihre Rolle als stehende Hypothese der kommutativen Algebra und der algebraischen Geometrie.

Core questions

• Welche äquivalenten Bedingungen definieren einen Noetherschen Ring?
• Warum bleiben Polynomringe durch den Hilbertschen Basissatz Noethersch?
• Wie überträgt sich die Noethersche Eigenschaft auf Quotienten, Lokalisierungen und endlich erzeugte Algebren?
• Warum ist die Noethersche Hypothese in der kommutativen Algebra nahezu allgegenwärtig?

Key theories

Äquivalente Formulierungen

Die aufsteigende Kettenbedingung für Ideale, die endliche Erzeugung jedes Ideals und die Maximalbedingung für Familien von Idealen sind äquivalent und liefern mehrere austauschbare Definitionen eines Noetherschen Rings.

Hilbertscher Basissatz

Ist ein Ring Noethersch, so ist es auch der Polynomring über ihm in endlich vielen Variablen, sodass endlich erzeugte Algebren über Körpern und über den ganzen Zahlen Noethersch sind.

Stabilität der Eigenschaft

Quotienten und Lokalisierungen Noetherscher Ringe sind Noethersch, und endlich erzeugte Moduln über einem Noetherschen Ring sind Noethersch, sodass die Klasse unter den Standardkonstruktionen der kommutativen Algebra abgeschlossen ist.

Clinical relevance

Die Noether-Bedingung ist die Endlichkeitshypothese, die fast der gesamten kommutativen Algebra und algebraischen Geometrie zugrunde liegt: Sie garantiert, dass eine Primärzerlegung existiert, dass Varietäten durch endlich viele Gleichungen definiert werden und dass Schlüsselkonstruktionen terminieren, sodass die in der Geometrie und Zahlentheorie auftretenden Ringe fast immer Noethersch sind.

History

David Hilbert bewies seinen Basissatz 1890 im Kontext der Invariantentheorie, aber die abstrakte aufsteigende Kettenbedingung und die systematische Theorie der Noetherschen Ringe gehen auf Emmy Noether in den 1920er Jahren zurück, nach der das Konzept benannt ist.

Key figures

• Emmy Noether
• David Hilbert
• Emanuel Lasker

Seminal works

• atiyah1969
• eisenbud1995
• matsumura1989

Frequently asked questions

Warum ist die endliche Erzeugung von Idealen eine so nützliche Hypothese?

Sie stellt sicher, dass Ideale und damit die von ihnen definierten algebraischen Mengen durch endlich viele Daten beschrieben werden, dass aufsteigende Ketten von Idealen nicht unendlich fortgesetzt werden können und dass induktive Argumente terminieren. Dies sind genau die Bedingungen, die für die Primärzerlegung und die Dimensionstheorie erforderlich sind.

Sind die meisten in der Praxis vorkommenden Ringe Noethersch?

Ja. Körper, Hauptidealringe, Ringe ganzer Zahlen und jede endlich erzeugte Algebra über ihnen sind nach dem Hilbertschen Basissatz Noethersch. Nicht-Noethersche Ringe existieren, sind aber in der Geometrie und Zahlentheorie vergleichsweise exotisch.