Körpererweiterung

Eine Körpererweiterung ist ein Körper, der einen kleineren Körper als Unterkörper enthält, das grundlegende Objekt der Körpertheorie, dessen Größe durch seinen Grad als Vektorraum gemessen wird.

Definition

Eine Körpererweiterung ist ein Paar, bestehend aus einem Körper und einem Unterkörper; äquivalent dazu wird der größere Körper als Vektorraum über dem kleineren betrachtet, und die Dimension dieses Vektorraums ist der Grad der Erweiterung.

Scope

Dieses Thema behandelt den Grad einer Erweiterung, algebraische versus transzendente Elemente, einfache Erweiterungen und Minimalpolynome, den Turmsatz für Grade, endlich erzeugte und algebraische Erweiterungen sowie die Anwendung auf die klassische Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal.

Core questions

• Wie wird die Größe einer Körpererweiterung gemessen?
• Wann ist ein Element algebraisch über dem Basiskörper, und was ist sein Minimalpolynom?
• Wie multiplizieren sich Grade über einen Erweiterungsturm hinweg?
• Wie löst die Körpertheorie klassische Konstruktionsprobleme?

Key theories

Grad und Turmsatz

Der Grad einer Erweiterung ist ihre Dimension als Vektorraum über dem Basiskörper, und in einem Erweiterungsturm multiplizieren sich die Grade, was den Grad zu einer fundamentalen additiven-im-Exponenten-Invariante macht.

Minimalpolynom eines algebraischen Elements

Ein über einem Körper algebraisches Element ist die Wurzel eines eindeutigen normierten irreduziblen Polynoms, des Minimalpolynoms, dessen Grad dem Grad der von ihm erzeugten einfachen Erweiterung entspricht.

Konstruierbarkeit

Eine Länge ist nur dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn sie in einem Turm von Erweiterungen vom Grad zwei liegt, sodass der Grad der von ihr erzeugten Erweiterung eine Zweierpotenz sein muss, was die Unmöglichkeit der Würfelverdopplung und der Dreiteilung eines allgemeinen Winkels belegt.

Clinical relevance

Körpererweiterungen bilden den Rahmen für die Untersuchung von Polynomwurzeln und für die Konstruktion neuer Zahlensysteme, einschließlich der komplexen Zahlen, algebraischer Zahlkörper und endlicher Körper. Sie wandeln die klassischen griechischen Konstruktionsprobleme in Gradberechnungen um und sind die Grundlage der Galois-Theorie.

History

Kronecker zeigte, wie man eine Wurzel eines Polynoms durch Quotientenbildung eines Polynomrings an einen Körper adjungieren kann, wodurch Erweiterungen eine algebraische Konstruktion erhielten. Steinitz' Abhandlung von 1910 entwickelte die abstrakte Theorie der Körper und ihrer Erweiterungen, und Wantzel hatte zuvor Gradargumente verwendet, um die Unmöglichkeit mehrerer klassischer Konstruktionen zu beweisen.

Key figures

• Leopold Kronecker
• Ernst Steinitz
• Évariste Galois
• Pierre Wantzel

Seminal works

• dummit2004
• lang2002
• artin2011

Frequently asked questions

Was misst der Grad einer Körpererweiterung?

Es ist die Dimension des größeren Körpers als Vektorraum über dem kleineren. Eine Erweiterung vom Grad zwei wird beispielsweise durch Adjunktion einer Quadratwurzel erhalten, und Grade multiplizieren sich, wenn Erweiterungen zu einem Turm gestapelt werden.

Wie löst dies die Winkeltrisektion?

Konstruierbare Punkte erzeugen Erweiterungen vom Grad einer Zweierpotenz. Die Dreiteilung eines allgemeinen Winkels würde die Lösung einer irreduziblen kubischen Gleichung erfordern, was eine Erweiterung vom Grad drei ergibt, die keine Zweierpotenz ist, sodass dies mit Zirkel und Lineal unmöglich ist.