Gauß-Quadratur

Die Gauß-Quadratur wählt sowohl die Knoten als auch die Gewichte einer Quadraturregel, um deren polynomialen Exaktheitsgrad zu maximieren, wodurch Polynome vom Grad 2n-1 mit nur n Funktionsauswertungen exakt integriert werden können.

Definition

Die Gauß-Quadratur ist eine Familie von Quadraturregeln, deren Knoten die Wurzeln orthogonaler Polynome sind, die mit einer Gewichtsfunktion assoziiert sind und zusammen mit ihren Gewichten so gewählt werden, dass der maximal mögliche Exaktheitsgrad für eine gegebene Anzahl von Knoten erreicht wird.

Scope

Dieses Thema behandelt die Konstruktion von Gauß-Regeln aus den Wurzeln orthogonaler Polynome, die Gauß-Legendre-Regel und gewichtete Varianten (Gauß-Tschebyscheff, Gauß-Hermite, Gauß-Laguerre), den Golub-Welsch-Eigenwertalgorithmus zur Berechnung von Knoten und Gewichten sowie Gauß-Kronrod-Erweiterungen, die für die praktische Fehlerabschätzung verwendet werden.

Core questions

• Wie verdoppelt die Platzierung von Knoten an den Wurzeln orthogonaler Polynome den Exaktheitsgrad im Vergleich zu Regeln mit festen Knoten?
• Wie werden die Knoten und Gewichte für eine gegebene Gewichtsfunktion genau berechnet?
• Wie gehen gewichtete Gauß-Regeln mit Integralen um, die singuläre oder unendliche Gewichtsfunktionen haben?
• Wie werden zuverlässige Fehlerabschätzungen erzielt, beispielsweise durch Gauß-Kronrod-Paare?

Key theories

Maximaler Exaktheitsgrad

Eine n-Punkt-Quadraturregel kann für Polynome bis zum Grad 2n-1 exakt sein, und dieses Maximum wird genau dann erreicht, wenn die Knoten die Wurzeln des orthogonalen Polynoms vom Grad n für die Gewichtsfunktion sind, wobei alle Gewichte positiv sind.

Golub-Welsch-Algorithmus

Die Knoten und Gewichte einer Gauß-Regel werden als Eigenwerte und quadrierte erste Eigenvektorkomponenten der symmetrischen tridiagonalen Jacobi-Matrix erhalten, die aus den Rekursionskoeffizienten der orthogonalen Polynome gebildet wird, wodurch die Quadraturkonstruktion zu einer Eigenwertberechnung wird.

Mechanisms

Orthogonale Polynome erfüllen eine Dreiterm-Rekursion, deren Koeffizienten eine symmetrische tridiagonale Jacobi-Matrix bilden; der Golub-Welsch-Algorithmus berechnet deren Eigenwerte (die Quadraturknoten) und verwendet die ersten Komponenten der Eigenvektoren, um die Gewichte stabil wiederherzustellen. Eine Änderung der Gewichtsfunktion – zu einer mit eingebauten Singularitäten oder einer, die auf einer Halbgeraden oder der gesamten Geraden definiert ist – führt zu Gauß-Tschebyscheff-, Gauß-Laguerre- oder Gauß-Hermite-Regeln, die schwieriges Verhalten analytisch absorbieren. Gauß-Kronrod-Regeln verwenden die Gauß-Knoten wieder und fügen verschachtelte Knoten hinzu, sodass eine höherwertige Schätzung und damit eine Fehlerabschätzung mit geringem Mehraufwand erzielt wird.

Clinical relevance

Die Gauß-Quadratur ist das Standardverfahren zur Auswertung von Element- und Steifigkeitsintegralen in der Finite-Elemente-Analyse, zur Berechnung von Momenten und Erwartungswerten gegenüber Wahrscheinlichkeitsgewichtsfunktionen in der Statistik und Unsicherheitsquantifizierung sowie zur hochgenauen Auswertung glatter Integrale in der gesamten Physik und Ingenieurwissenschaft, wo die Minimierung der Anzahl teurer Integrandenauswertungen von größter Bedeutung ist.

History

Gauß leitete seine optimale Quadratur 1814 ab; Jacobi verband sie mit orthogonalen Polynomen, und die moderne rechnerische Behandlung wurde durch den Golub-Welsch-Algorithmus von 1969 etabliert, der Knoten und Gewichte routinemäßig berechenbar machte und Gauß-Regeln in Standard-Numerikbibliotheken einführte.

Key figures

• Carl Friedrich Gauss
• Carl Gustav Jacob Jacobi
• Gene H. Golub
• Walter Gautschi

Seminal works

• davis1984
• gautschi2004

Frequently asked questions

Wie können n Punkte ein Polynom vom Grad 2n-1 exakt integrieren?

Da sowohl die n Knoten als auch die n Gewichte freie Parameter sind, gibt es 2n Freiheitsgrade, genug, um die Integrale von 2n Basisfunktionen (Grade 0 bis 2n-1) anzupassen. Die Platzierung der Knoten an den Wurzeln orthogonaler Polynome erreicht genau dies.

Wie wird die Genauigkeit einer Gauß-Regel in der Praxis überprüft?

Ein gängiger Ansatz ist das Gauß-Kronrod-Paar, das eine Gauß-Regel um zusätzliche Knoten erweitert, um eine höherwertige Schätzung zu erzeugen; die Differenz zwischen den beiden Schätzungen dient als praktische Fehlerabschätzung, die von adaptiven Integratoren verwendet wird.