Numerische Integration
Die numerische Integration, oder Quadratur, approximiert bestimmte Integrale durch gewichtete Summen von Funktionswerten und liefert genaue Werte, wenn eine Stammfunktion nicht verfügbar ist oder der Integrand nur an Stichprobenpunkten bekannt ist.
Definition
Numerische Integration ist die Approximation eines bestimmten Integrals durch eine endliche gewichtete Kombination von Integrandenwerten, genannt Quadraturregel, zusammen mit der Analyse ihrer Genauigkeit.
Scope
Dieser Bereich umfasst interpolatorische Quadraturregeln, die durch Integration von Polynominterpolanten (Newton-Cotes) erstellt werden, Gaußsche Regeln optimalen Grades, die auf orthogonalen Polynomen basieren, zusammengesetzte und adaptive Schemata zur automatischen Fehlerkontrolle sowie die Fehleranalyse, die Genauigkeit und Konvergenz bestimmt; die mehrdimensionale Integration wird als Erweiterung dieser eindimensionalen Grundlagen behandelt.
Sub-topics
Core questions
- Wie werden Quadraturregeln aus der Polynominterpolation konstruiert, und was bestimmt ihre Genauigkeit?
- Was ist der Exaktheitsgrad einer Regel, und wie maximieren Gaußsche Regeln diesen für eine gegebene Anzahl von Punkten?
- Wie steuern zusammengesetzte und adaptive Strategien den Fehler über ein Intervall?
- Wie beeinflusst die Glattheit des Integranden die Konvergenzrate einer Quadraturregel?
Key theories
- Interpolatorische Quadratur
- Die Integration des Polynoms, das den Integranden an ausgewählten Knoten interpoliert, ergibt eine Quadraturregel, deren Gewichte Integrale der Lagrange-Basisfunktionen sind; die Regel ist exakt für alle Polynome bis zum Interpolationsgrad.
- Gaußsche Quadratur und orthogonale Polynome
- Die Wahl der Knoten als Wurzeln orthogonaler Polynome erzeugt eine n-Punkt-Regel, die für Polynome bis zum Grad 2n-1 exakt ist, dem maximal möglichen, und verbindet so die optimale Quadratur mit der Theorie der orthogonalen Polynome.
- Adaptive Fehlerkontrolle
- Der Vergleich von Schätzungen aus Regeln unterschiedlicher Ordnung oder aus verfeinerten Unterteilungen liefert eine Fehlerschätzung, die eine automatische Unterteilung steuert und den Aufwand dort konzentriert, wo der Integrand schnell variiert.
Clinical relevance
Quadratur ist überall dort erforderlich, wo Integrale nicht in geschlossener Form ausgewertet werden können: bei der Berechnung von Erwartungswerten und Normierungskonstanten in Wahrscheinlichkeit und Statistik, bei der Auswertung von Elementintegralen in Finite-Elemente-Methoden, bei der Summierung von Strahlungs- und Krafteinflüssen in physikalischen Simulationen und bei der Preisgestaltung von Finanzinstrumenten in der Computerfinanzierung; die Wahl der Regel wägt die Genauigkeit gegen die Anzahl der (oft teuren) Integrandenbewertungen ab.
History
Klassische interpolatorische Regeln gehen auf Newton und Cotes zurück, während Gauss seine Quadratur optimalen Grades 1814 einführte; die Computerära fügte automatische adaptive Algorithmen und hochwertige Softwarebibliotheken hinzu und erneuerte die Aufmerksamkeit für die Konditionierung und Stabilität der Quadratur für schwierige Integranden.
Key figures
- Carl Friedrich Gauss
- Isaac Newton
- Roger Cotes
- Philip J. Davis
Related topics
Seminal works
- davis1984
- quarteroni2007
Frequently asked questions
- Wann ist numerische Integration anstelle der Suche nach einer Stammfunktion erforderlich?
- Viele Integranden haben keine Stammfunktion, die in elementaren Funktionen ausdrückbar ist, und in der Praxis kann der Integrand nur als Daten oder als Ergebnis einer Simulation vorliegen. In beiden Fällen schätzt eine Quadraturregel das Integral direkt aus Funktionswerten.
- Warum ist die Gaußsche Quadratur so effizient?
- Durch die optimale Platzierung sowohl der Knoten als auch der Gewichte integriert eine n-Punkt-Gaußsche Regel Polynome bis zum Grad 2n-1 exakt – doppelt so hoch wie der Grad einer Newton-Cotes-Regel mit der gleichen Anzahl von Punkten – und erreicht so eine hohe Genauigkeit mit wenigen Funktionsauswertungen für glatte Integranden.