Newton-Cotes-Quadratur

Newton-Cotes-Regeln nähern ein Integral an, indem sie das Polynom integrieren, das den Integranden an äquidistanten Punkten interpoliert, was zu bekannten Formeln wie der Trapez- und der Simpson-Regel führt.

Definition

Eine Newton-Cotes-Quadraturregel ist eine interpolatorische Quadraturregel, deren Knoten gleichmäßig über das Integrationsintervall verteilt sind, wobei die Gewichte durch Integration des entsprechenden interpolierenden Polynoms erhalten werden.

Scope

Dieses Thema behandelt geschlossene und offene Newton-Cotes-Formeln, ihre Exaktheitsgrade und Fehlerterme, die zusammengesetzten Trapez- und Simpson-Regeln, die durch Unterteilung des Intervalls erhalten werden, die Romberg-Integration mittels Richardson-Extrapolation und die Instabilität von Newton-Cotes-Regeln höherer Ordnung, die ihren praktischen Grad begrenzt.

Core questions

• Wie werden die Trapez- und Simpson-Regeln als integrierte Interpolanten abgeleitet?
• Was sind die Fehlerterme dieser Regeln, und warum gewinnt die Simpson-Regel durch Symmetrie eine zusätzliche Ordnung?
• Wie verbessern zusammengesetzte Regeln und die Romberg-Extrapolation die Genauigkeit systematisch?
• Warum werden Newton-Cotes-Regeln höherer Ordnung instabil, und was begrenzt ihre Anwendung?

Key theories

Exaktheitsgrad und Fehlerterme

Die Trapezregel ist exakt für lineare Integranden mit einem Fehler proportional zur zweiten Ableitung, während die Simpson-Regel durch Symmetrie exakt für kubische Polynome ist mit einem Fehler proportional zur vierten Ableitung, wodurch sie eine Ordnung über ihren Interpolationsgrad hinaus gewinnt.

Zusammengesetzte Regeln und Romberg-Integration

Die Anwendung einer Grundregel auf viele Teilintervalle ergibt eine zusammengesetzte Regel, deren Fehler polynomial mit der Schrittweite abnimmt; die Richardson-Extrapolation der zusammengesetzten Trapezregel erzeugt das schnell konvergente Romberg-Schema.

Mechanisms

Jede Grundregel integriert den äquidistanten Interpolanten exakt: Die Trapezregel integriert eine Geradenanpassung, die Simpson-Regel eine Parabel. Zusammengesetzte Regeln unterteilen das Intervall und summieren die Grundregeln für jedes Teilstück, sodass eine Halbierung der Schrittweite den Fehler vorhersehbar reduziert. Die Romberg-Integration tabelliert zusammengesetzte Trapezschätzungen bei sukzessiv halbierten Schrittweiten und wendet wiederholte Richardson-Extrapolation an, um führende Fehlerterme zu eliminieren und eine hohe Genauigkeit für glatte Integranden zu erzielen. Newton-Cotes-Regeln höherer Ordnung für ein einzelnes Intervall erhalten große oszillierende Gewichte mit gemischtem Vorzeichen, was das Runge-Phänomen widerspiegelt und zu Auslöschung und Instabilität führt.

Clinical relevance

Newton-Cotes-Regeln, insbesondere die zusammengesetzten Trapez- und Simpson-Formen, sind die standardmäßigen kostengünstigen Quadraturwerkzeuge, wenn Integranden-Stichproben von Natur aus äquidistant sind – zum Beispiel tabellierte experimentelle Daten, Zeitreihenintegration und einfache Simulations-Nachbearbeitung – und die Romberg-Integration liefert genaue Ergebnisse für glatte Funktionen mit minimalem Programmieraufwand.

History

Diese Regeln stammen von Newton und Cotes aus dem frühen achtzehnten Jahrhundert und von Thomas Simpson, dessen Regel seinen Namen trägt; Werner Rombergs Extrapolationsschema von 1955 verwandelte die elementare Trapezregel in eine hochgenaue Methode und ist nach wie vor ein Standard-Lehr- und Rechenwerkzeug.

Key figures

• Isaac Newton
• Roger Cotes
• Thomas Simpson
• Werner Romberg

Seminal works

• davis1984
• quarteroni2007

Frequently asked questions

Warum ist die Simpson-Regel genauer als die Trapezregel?

Die Simpson-Regel passt eine Parabel durch drei Punkte anstelle einer Geraden durch zwei an, und aufgrund der Symmetrie integriert sie kubische Polynome exakt, sodass ihr Fehler von der vierten Ableitung abhängt und viel schneller abnimmt, wenn die Schrittweite verringert wird.

Warum sollte man nicht einfach eine Newton-Cotes-Regel sehr hoher Ordnung verwenden?

Newton-Cotes-Regeln hoher Ordnung auf äquidistanten Knoten entwickeln große Gewichte mit alternierenden Vorzeichen, was zu numerischer Auslöschung und Instabilität führt. In der Praxis verwendet man stattdessen zusammengesetzte Regeln niedriger Ordnung, Romberg-Extrapolation oder Gauß-Quadratur.